Fugu-MT 論文翻訳(概要): Explicit permutations of $(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^m$ with uniformly bounded differential uniformity

論文の概要: Explicit permutations of $(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^m$ with uniformly bounded differential uniformity

arxiv url: http://arxiv.org/abs/2611.02572v1
Date: Mon, 02 Nov 2026 05:56:36 GMT
ステータス: 情報取得中
システム内更新日: 2026-11-03 20:13:40.721
Title: Explicit permutations of $(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^m$ with uniformly bounded differential uniformity
Title（参考訳）: 一様有界微分均一性を持つ$(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^m$の明示的置換
Abstract要約: ガロア環上の対称原始体は、環加法に関する微分が制御される非線形成分を必要とする。すべての$mge1$に対して、明示的な置換$G_c$ of $R$を構築し、0でない入力差を持つ微分は、少なくとも36/N$の確率を持つ。この証明は、3種類の方向の差分方程式を、次数が$mに依存しない1変数に還元する。
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Abstract: Symmetric primitives over Galois rings need nonlinear components whose differentials with respect to ring addition are controlled. Let $R=\mathrm{GR}(4,m)$ and $q=2^m$, so that $(R,+)\cong(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^m$ has order $N=q^2$. For every $m\ge1$ we construct an explicit permutation $G_c$ of $R$ all of whose differentials with a nonzero input difference have probability at most $36/N$, whereas every permutation polynomial of $R$ has such a differential of probability at least $2/\sqrt{N}$ (Ronjom--Sandrib). The bound holds for the fixed permutation itself, not on average over keys. Equivalently, $Δ(G_c)\le36$ against $Δ\ge2\sqrt{N}$ for permutation polynomials; since every permutation has $Δ\ge2$, the least differential uniformity of a permutation of $(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^m$ lies between $2$ and $36$ for every $m$. In Teichmuller digits $(a,b)\in\mathbb{F}_q^2$ and for $c\in\mathbb{F}_q$ of absolute trace $1$, $G_c(a,b)=(L,(L^2+L+c)a)$ with $L=(a^2+a+c)b$. The map is $F_c\circ J\circ F_c$, where $F_c(a,b)=(a,(a^2+a+c)b)$ is induced by a polynomial over $R$ and $J$ exchanges the digits: a single digit exchange between two polynomial layers yields a bound independent of $m$. The proof reduces the difference equations, in each of three types of directions, to one-variable polynomials whose degrees do not depend on $m$. For general maps $F\circ J\circ F$ with $F(a,b)=(p(a),h(a)+d(a)b)$, where $p,d,h$ have degrees bounded independently of $m$, $p'\ne0$ and $d$ has no zeros, a Jacobian identity in characteristic $2$ bounds the differentials with nonzero low input and output differences independently of $m$; the remaining directions need a separate argument, which we give for an explicit family ($Δ\le440$, resp. $510$, for odd $m$).
Abstract（参考訳）: ガロア環上の対称原始体は、環加法に関する微分が制御される非線形成分を必要とする。 R=\mathrm{GR}(4,m)$ と $q=2^m$ とすると、$(R,+)\cong(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^m$ は$N=q^2$ である。すべての$m\ge1$に対して、明示的な置換 $G_c$ of $R$ を、0でない入力差を持つ微分が少なくとも 336/N$ の確率を持つようなもの全てを構築し、一方、$R$ のすべての置換多項式は、少なくとも 2/\sqrt{N}$ (ロンジョム-サンドリブ) の確率の微分を持つ。境界は固定置換そのものを保ち、キーの上の平均値ではない。同様に、$Δ(G_c)\le36$ against $Δ\ge2\sqrt{N}$ for permutation polynomials; 全ての置換は$Δ\ge2$を持つので、置換の最小差分均一性は$(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^m$ で、$m$毎に$$2〜$36$である。 Teichmuller 桁 $(a,b)\in\mathbb{F}_q^2$ および $c\in\mathbb{F}_q$ of absolute trace $1$, $G_c(a,b)=(L,(L^2+L+c)a)$ with $L=(a^2+a+c)b$ である。写像は$F_c\circ J\circ F_c$であり、$F_c(a,b)=(a,(a^2+a+c)b)$は$R$上の多項式によって誘導され、$J$は桁を交換する。この証明は、3種類の方向の差分方程式を、次数が$m$に依存しない1変数多項式に還元する。一般の写像に対して、$F\circ J\circ F$ with $F(a,b)=(p(a),h(a)+d(a)b)$, where $p,d,h$ have bounded of $m$, $p'\ne0$ and $d$ has no zeros, a Jacobian identity in characteristic $2$ is bounds the differentials with nonzero low input and output difference from $m$。 510ドル、奇異な$m$)。

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