論文の概要: A Tensor-Network Chebyshev--Galerkin Method for Boundary-Value Problems in Computational Mechanics

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2611.06552v1
• Date: Wed, 04 Nov 2026 14:16:51 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-11-06 03:25:58.131627
• Title: A Tensor-Network Chebyshev--Galerkin Method for Boundary-Value Problems in Computational Mechanics
• Title（参考訳）: 計算力学における境界値問題に対するTensor-Network Chebyshev--Galerkin法
• Abstract要約: 偏微分方程式の量子インスパイアされた数値計算法は、離散化された場と作用素を量子テンソルトレイン(QTT)として表す 本稿では,QTTチェビシェフ-ガレルキン法を導入し,大域的なスペクトル系を直接圧縮形式で組み立て,解決する。 線形弾性では、この方法はスペクトル収束を保ち、3次元のベンチマークで10～8ドル以下の誤差に達する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.1470070927586018
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Quantum-inspired numerical methods for partial differential equations represent discretized fields and operators as quantics tensor trains (QTT), so that their cost depends on how compressible the problem is rather than on the number of unknowns. Global spectral formulations in this setting have so far relied on Fourier bases, restricted to periodic problems, or on collocation, which does not preserve the variational structure exploited by tensor-network solvers. We introduce a QTT Chebyshev--Galerkin method that assembles and solves global spectral systems directly in compressed form, without forming the underlying arrays. Starting from the weak formulation, the method handles coupled elliptic systems with variable coefficients, smoothly mapped geometries, and mixed Dirichlet--Robin boundary conditions, and yields symmetric positive-definite systems suited to variational tensor-network solvers. Parameters and random inputs enter as additional coordinates, so the same construction returns the solution over an entire parameter space in a single solve. In linear elasticity, the method retains spectral convergence and reaches errors below $10^{-8}$ on a three-dimensional benchmark, beyond those attained by QTT finite differences and Q2/Q4 FEniCSx finite elements over the tested range. A six-parameter cantilever design study covering $1.7\times10^{7}$ designs is solved in a single 92~s run, and a stochastic problem with ten random coordinates is represented with $2.4\times10^{6}$ times less memory than its full coefficient array.
• Abstract（参考訳）: 偏微分方程式の量子インスパイアされた数値法は、離散化された場と演算子を量子テンソルトレイン(QTT)として表現する。 この設定におけるグローバルスペクトルの定式化は、これまで、周期的な問題に制限されたフーリエ基底や、テンソル・ネットワーク・ソルバによって利用される変動構造を保存しないコロケーションに依存してきた。 本稿では,QTTチェビシェフ-ガレルキン法を導入し,大域的なスペクトル系を直接圧縮形式で組み立てる手法を提案する。弱い定式化から,可変係数,スムーズなジオメトリー,混合ディリクレ-ロビン境界条件で結合楕円系を処理し,変分テンソル-ネットワーク解法に適した対称正定値系を生成する。 パラメータとランダムな入力は余分な座標として入力されるので、同じ構成は1つの解においてパラメータ空間全体に解を返す。 線形弾性において、この方法はスペクトル収束を保持し、QTT有限差分とテスト範囲上のQ2/Q4 FEniCSx有限要素によって達成された値を超える誤差を3次元のベンチマークで10−8$以下に到達する。 1.7\times10^{7}$の設計に関する6パラメータのカンチレバー設計研究は、92~sの1回のランで解決され、10個のランダム座標の確率問題は、その全係数配列の2.4\times10^{6}$メモリの2.4\times10^{6}$メモリで表される。

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