論文の概要: Wasserstein Control of Mirror Langevin Monte Carlo

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2002.04363v1
• Date: Tue, 11 Feb 2020 13:16:31 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-01-02 02:56:14.661276
• Title: Wasserstein Control of Mirror Langevin Monte Carlo
• Title（参考訳）: モンテカルロ鏡のワッサーシュタイン制御
• Authors: Kelvin Shuangjian Zhang, Gabriel Peyr\'e, Jalal Fadili, Marcelo Pereyra
• Abstract要約: 離散化ランゲヴィン拡散は高次元ターゲット密度からサンプリングする効率的なモンテカルロ法である。 ヘッセン型多様体上のランゲヴィン拡散を考察し、ミラー・ドネサンススキームと密接な関係を持つ離散化を研究する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 2.7145834528620236
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Discretized Langevin diffusions are efficient Monte Carlo methods for sampling from high dimensional target densities that are log-Lipschitz-smooth and (strongly) log-concave. In particular, the Euclidean Langevin Monte Carlo sampling algorithm has received much attention lately, leading to a detailed understanding of its non-asymptotic convergence properties and of the role that smoothness and log-concavity play in the convergence rate. Distributions that do not possess these regularity properties can be addressed by considering a Riemannian Langevin diffusion with a metric capturing the local geometry of the log-density. However, the Monte Carlo algorithms derived from discretizations of such Riemannian Langevin diffusions are notoriously difficult to analyze. In this paper, we consider Langevin diffusions on a Hessian-type manifold and study a discretization that is closely related to the mirror-descent scheme. We establish for the first time a non-asymptotic upper-bound on the sampling error of the resulting Hessian Riemannian Langevin Monte Carlo algorithm. This bound is measured according to a Wasserstein distance induced by a Riemannian metric ground cost capturing the Hessian structure and closely related to a self-concordance-like condition. The upper-bound implies, for instance, that the iterates contract toward a Wasserstein ball around the target density whose radius is made explicit. Our theory recovers existing Euclidean results and can cope with a wide variety of Hessian metrics related to highly non-flat geometries.
• Abstract（参考訳）: 離散ランジュバン拡散は、log-lipschitz-smoothおよび(強)log-concaveである高次元ターゲット密度からサンプリングするための効率的なモンテカルロ法である。 特に、ユークリッドのランゲヴィン・モンテカルロサンプリングアルゴリズムは近年多くの注目を集めており、その非漸近収束特性と滑らかさと対数凹凸が収束速度で果たす役割を詳細に理解している。 これらの正則性を持たない分布は、ログ密度の局所幾何をキャプチャする計量を持つリーマン的ランジュバン拡散を考えることで対処できる。 しかし、そのようなリーマンランジュバン拡散の離散化から導かれるモンテカルロアルゴリズムは解析が難しいことで悪名高い。 本稿では,ヘッセン多様体上のランジュバン拡散を考察し,ミラー・ディセントスキームと密接な関係を持つ離散化について検討する。 結果として生じるヘッセンリーマン・ランジュバン・モンテカルロアルゴリズムのサンプリング誤差について,非漸近上界を初めて確立した。 この境界は、ヘッセン構造をキャプチャするリーマン計量接地コストによって引き起こされるワッサーシュタイン距離に従って測定され、自己一致様条件と密接に関連している。 アッパーバウンドは、例えば、イテレートが半径を明示した目標密度の周りのワッサースタイン球に向かって収縮することを意味する。 我々の理論は既存のユークリッドの結果を復元し、高度に非平坦な幾何学に関連する幅広いヘッセン測度に対処することができる。

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