論文の概要: At the Interface of Algebra and Statistics

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2004.05631v1
• Date: Sun, 12 Apr 2020 15:22:07 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2022-12-14 05:12:48.303732
• Title: At the Interface of Algebra and Statistics
• Title（参考訳）: 代数と統計学のインターフェイスについて
• Authors: Tai-Danae Bradley
• Abstract要約: この論文は量子物理学からインスピレーションを得て、代数と統計学の界面にある数学的構造を研究する。 有限集合上のすべての合同確率分布は階数 1 の密度作用素としてモデル化できる。 条件付き確率に類似していることを示し、固有ベクトルが元の関節分布に固有の「概念」を捕捉する程度について調べる。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: This thesis takes inspiration from quantum physics to investigate mathematical structure that lies at the interface of algebra and statistics. The starting point is a passage from classical probability theory to quantum probability theory. The quantum version of a probability distribution is a density operator, the quantum version of marginalizing is an operation called the partial trace, and the quantum version of a marginal probability distribution is a reduced density operator. Every joint probability distribution on a finite set can be modeled as a rank one density operator. By applying the partial trace, we obtain reduced density operators whose diagonals recover classical marginal probabilities. In general, these reduced densities will have rank higher than one, and their eigenvalues and eigenvectors will contain extra information that encodes subsystem interactions governed by statistics. We decode this information, and show it is akin to conditional probability, and then investigate the extent to which the eigenvectors capture "concepts" inherent in the original joint distribution. The theory is then illustrated with an experiment that exploits these ideas. Turning to a more theoretical application, we also discuss a preliminary framework for modeling entailment and concept hierarchy in natural language, namely, by representing expressions in the language as densities. Finally, initial inspiration for this thesis comes from formal concept analysis, which finds many striking parallels with the linear algebra. The parallels are not coincidental, and a common blueprint is found in category theory. We close with an exposition on free (co)completions and how the free-forgetful adjunctions in which they arise strongly suggest that in certain categorical contexts, the "fixed points" of a morphism with its adjoint encode interesting information.
• Abstract（参考訳）: この論文は量子物理学から着想を得て、代数と統計のインターフェイスにある数学的構造を研究する。 出発点は古典的確率論から量子確率論への通路である。 確率分布の量子バージョンは密度作用素であり、辺縁化の量子バージョンは部分トレースと呼ばれる演算であり、辺縁確率分布の量子バージョンは密度作用素を減少させる。 有限集合上のすべての合同確率分布は階数 1 の密度作用素としてモデル化できる。 部分トレースを適用することで、対角線が古典的辺縁確率を回復する還元密度演算子を得る。 一般に、これらの減少密度は1以上のランクを持ち、それらの固有値と固有ベクトルは統計によって制御されるサブシステム相互作用をエンコードする余分な情報を含む。 この情報を復号し、条件付き確率に類似していることを示し、固有ベクトルが元の関節分布に固有の「概念」を捕捉する程度を調査する。 この理論は、これらのアイデアを生かした実験で説明される。 さらに,より理論的応用として,自然言語における包含と概念階層をモデル化するための予備的枠組み,すなわち,言語表現を密度として表現することで議論する。 最後に、この論文の最初のインスピレーションは形式的な概念解析から来ており、線形代数と多くの顕著な平行点が見つかる。 平行線は一致せず、一般的な青写真が圏論で見られる。 自由(co)コンプリートに関する説明と、それらの出現する自由忘れられた随伴が、あるカテゴリー的文脈において、その随伴を持つ射の「固定された点」が興味深い情報をエンコードしていることを強く示唆する。

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