論文の概要: Classical and Quantum Algorithms for Topological Invariants of Torus Bundles

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2512.19028v1
• Date: Mon, 22 Dec 2025 04:58:14 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-12-23 18:54:32.623292
• Title: Classical and Quantum Algorithms for Topological Invariants of Torus Bundles
• Title（参考訳）: トーラス束の位相不変量に対する古典的および量子的アルゴリズム
• Authors: Nelson Abdiel Colón Vargas, Carlos Ortiz Marrero,
• Abstract要約: 我々は非可換トーラス構造を利用して閉トーラスのスキイン代数をその対称部分代数にユニタリの根に埋め込む。 個々の展開係数の抽出は#P完全であることが証明されているが、これらの係数を非無視的な構成の分数に対して効率的に近似できる量子アルゴリズムが存在する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.42970700836450476
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Computing topological invariants of 3-manifolds is generally intractable, yet specialized algebraic structures can enable efficient algorithms. For Witten-Reshetikhin-Turaev (WRT) invariants of torus bundles, we exploit the non-commutative torus structure to embed the skein algebra of the closed torus into its symmetric subalgebra at roots of unity. This yields a fixed $N^2$-dimensional representation that supports polynomial-time classical computation with $O(N^2)$ space, and a quantum algorithm using only $O(\log N)$ qubits -- an exponential space advantage. We further prove that extracting individual expansion coefficients is #P-complete, yet there is a quantum algorithm that can efficiently approximate these coefficients for a non-negligible fraction of configurations.
• Abstract（参考訳）: 3次元多様体のトポロジカル不変量を計算することは一般に難解であるが、特殊代数構造は効率的なアルゴリズムを実現することができる。 Witten-Reshetikhin-Turaev (WRT) のトーラス束の不変量に対して、非可換トーラス構造を利用して閉トーラスのスキーン代数をその対称部分代数にユニティの根に埋め込む。 これにより、多項式時間古典計算を$O(N^2)$空間でサポートする固定された$N^2$次元表現と、指数空間の優位性である$O(\log N)$ qubitsのみを使用する量子アルゴリズムが得られる。 さらに、個々の膨張係数の抽出が#P完全であることが証明されるが、これらの係数を非無視的な構成の分数に対して効率的に近似できる量子アルゴリズムが存在する。

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