論文の概要: Sample complexity and effective dimension for regression on manifolds

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2006.07642v3
• Date: Fri, 16 Oct 2020 14:58:46 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2022-11-21 21:01:48.160326
• Title: Sample complexity and effective dimension for regression on manifolds
• Title（参考訳）: 多様体上の回帰に対するサンプル複雑性と有効次元
• Authors: Andrew McRae and Justin Romberg and Mark Davenport
• Abstract要約: ヒルベルト空間法を再現したカーネルを用いた多様体上の回帰理論を考える。 多様体上の滑らかな函数のある空間は、多様体次元に応じて拡大する複雑性を持つ実効有限次元であることが示される。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 13.774258153124205
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We consider the theory of regression on a manifold using reproducing kernel Hilbert space methods. Manifold models arise in a wide variety of modern machine learning problems, and our goal is to help understand the effectiveness of various implicit and explicit dimensionality-reduction methods that exploit manifold structure. Our first key contribution is to establish a novel nonasymptotic version of the Weyl law from differential geometry. From this we are able to show that certain spaces of smooth functions on a manifold are effectively finite-dimensional, with a complexity that scales according to the manifold dimension rather than any ambient data dimension. Finally, we show that given (potentially noisy) function values taken uniformly at random over a manifold, a kernel regression estimator (derived from the spectral decomposition of the manifold) yields minimax-optimal error bounds that are controlled by the effective dimension.
• Abstract（参考訳）: 我々は、カーネルヒルベルト空間法を用いて多様体上の回帰の理論を考える。 我々の目標は、多様体構造を利用する様々な暗黙的および明示的な次元的還元法の有効性を理解することにある。 最初の重要な貢献は、微分幾何学から新しいワイル法則の漸近版を確立することである。 このことから、多様体上の滑らかな函数のある空間が、任意の周囲のデータ次元よりも多様体次元に従ってスケールする複雑性を持つ実効有限次元であることが示せる。 最後に、多様体上のランダムに取られる(潜在的に騒がしい)関数値が与えられたとき、(多様体のスペクトル分解に由来する)カーネル回帰推定器は、有効次元によって制御されるミニマックス最適誤差境界を生成する。

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