論文の概要: Geometry of Similarity Comparisons
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2006.09858v4
- Date: Thu, 29 Jul 2021 00:22:18 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2022-11-19 20:28:02.492706
- Title: Geometry of Similarity Comparisons
- Title（参考訳）: 類似性比較の幾何学
- Authors: Puoya Tabaghi, Jianhao Peng, Olgica Milenkovic, Ivan Dokmani\'c
- Abstract要約: 空間形式の順序容量は、その次元と曲率の符号に関係していることを示す。
さらに重要なことは、類似性グラフ上で定義された順序拡散確率変数の統計的挙動が、その基礎となる空間形式を特定するのに利用できることである。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 51.552779977889045
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: Many data analysis problems can be cast as distance geometry problems in
\emph{space forms} -- Euclidean, spherical, or hyperbolic spaces. Often,
absolute distance measurements are often unreliable or simply unavailable and
only proxies to absolute distances in the form of similarities are available.
Hence we ask the following: Given only \emph{comparisons} of similarities
amongst a set of entities, what can be said about the geometry of the
underlying space form? To study this question, we introduce the notions of the
\textit{ordinal capacity} of a target space form and \emph{ordinal spread} of
the similarity measurements. The latter is an indicator of complex patterns in
the measurements, while the former quantifies the capacity of a space form to
accommodate a set of measurements with a specific ordinal spread profile. We
prove that the ordinal capacity of a space form is related to its dimension and
the sign of its curvature. This leads to a lower bound on the Euclidean and
spherical embedding dimension of what we term similarity graphs. More
importantly, we show that the statistical behavior of the ordinal spread random
variables defined on a similarity graph can be used to identify its underlying
space form. We support our theoretical claims with experiments on weighted
trees, single-cell RNA expression data and spherical cartographic measurements.
- Abstract（参考訳）: 多くのデータ解析問題は、ユークリッド空間、球面空間、あるいは双曲空間における距離幾何学的な問題としてキャストできる。
しばしば絶対距離の測定は信頼できないか、単に利用できないことがあり、類似性の形で絶対距離へのプロキシのみが利用可能である。
したがって、以下のことを問う: 実体の集合における類似性の \emph{comparisons} のみを与えられたとき、基礎となる空間形式の幾何学について何が言えるか?
この問題を研究するために、対象空間形式の \textit{ordinal capacity} と類似度測定の \emph{ordinal spread} の概念を導入する。
後者は測定における複雑なパターンの指標であり、前者は特定の順序展開プロファイルを持つ一連の測定値に対応するために空間形式の容量を定量化する。
空間形式の順序容量は、その次元とその曲率の符号と関係していることを証明する。
これは、我々が類似性グラフと呼ぶもののユークリッドおよび球面埋め込み次元において下界となる。
さらに重要なことは、類似性グラフ上で定義された順序拡散確率変数の統計的挙動が、その基礎となる空間形式を特定するのに利用できることである。
我々は,重み付き木,単細胞RNA発現データ,球面地図計測実験による理論的主張を支持した。
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