論文の概要: Improved thermal area law and quasi-linear time algorithm for quantum Gibbs states

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2007.11174v2
• Date: Thu, 11 Mar 2021 10:19:03 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-05-08 18:49:08.552354
• Title: Improved thermal area law and quasi-linear time algorithm for quantum Gibbs states
• Title（参考訳）: 量子ギブス状態に対する熱領域法則の改善と準線形時間アルゴリズム
• Authors: Tomotaka Kuwahara, \'Alvaro M. Alhambra and Anurag Anshu
• Abstract要約: 格子上の多体系を包含する新しい熱領域法則を提案する。 元の$mathcalO(beta)$から$tildemathcalO(beta2/3)$への温度依存性を改善する。 また、精製のR'enyi絡みと形成の絡みについても類似した境界を証明した。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 14.567067583556714
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: One of the most fundamental problems in quantum many-body physics is the characterization of correlations among thermal states. Of particular relevance is the thermal area law, which justifies the tensor network approximations to thermal states with a bond dimension growing polynomially with the system size. In the regime of sufficiently low temperatures, which is particularly important for practical applications, the existing techniques do not yield optimal bounds. Here, we propose a new thermal area law that holds for generic many-body systems on lattices. We improve the temperature dependence from the original $\mathcal{O}(\beta)$ to $\tilde{\mathcal{O}}(\beta^{2/3})$, thereby suggesting diffusive propagation of entanglement by imaginary time evolution. This qualitatively differs from the real-time evolution which usually induces linear growth of entanglement. We also prove analogous bounds for the R\'enyi entanglement of purification and the entanglement of formation. Our analysis is based on a polynomial approximation to the exponential function which provides a relationship between the imaginary-time evolution and random walks. Moreover, for one-dimensional (1D) systems with $n$ spins, we prove that the Gibbs state is well-approximated by a matrix product operator with a sublinear bond dimension of $e^{\sqrt{\tilde{\mathcal{O}}(\beta \log(n))}}$. This proof allows us to rigorously establish, for the first time, a quasi-linear time classical algorithm for constructing an MPS representation of 1D quantum Gibbs states at arbitrary temperatures of $\beta = o(\log(n))$. Our new technical ingredient is a block decomposition of the Gibbs state, that bears resemblance to the decomposition of real-time evolution given by Haah et al., FOCS'18.
• Abstract（参考訳）: 量子多体物理学における最も基本的な問題の1つは、熱状態間の相関の特徴づけである。 特に、熱領域法則は、システムサイズと多項式的に成長する結合次元を持つ熱状態に対するテンソルネットワーク近似を正当化するものである。 特に実用上重要な、十分に低温の環境下では、既存の技術は最適境界に達しない。 本稿では,格子上の一般多体系を定式化する新しい熱領域則を提案する。 元の $\mathcal{O}(\beta)$ から $\tilde{\mathcal{O}}(\beta^{2/3})$ への温度依存性を改善し、虚時進化による絡み合いの拡散を示唆する。 これは、通常は絡み合いの線形成長を引き起こすリアルタイム進化とは異なる。 我々はまた、浄化の r\'enyi の絡み合いと形成の絡み合いに対する類似の境界も証明する。 本解析は,指数関数に対する多項式近似に基づいて,虚数時間進化とランダムウォークの関係を推定する。 さらに、$n$のスピンを持つ一次元(1D)系に対して、ギブス状態が$e^{\sqrt{\tilde{\mathcal{O}}(\beta \log(n))}}$のサブ線形結合次元を持つ行列積作用素によって十分に近似されていることを証明する。 この証明により、1D量子ギブス状態のMPS表現を任意の温度で$\beta = o(\log(n))$で構築するための準線形時間古典アルゴリズムを初めて厳密に確立することができる。 我々の新しい技術要素はギブス状態のブロック分解であり、Haah et al., FOCS'18のリアルタイム進化の分解に類似している。

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