論文の概要: Geometric relative entropies and barycentric Rényi divergences
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2207.14282v5
- Date: Thu, 18 Apr 2024 15:11:56 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2024-04-19 14:48:42.448065
- Title: Geometric relative entropies and barycentric Rényi divergences
- Title（参考訳）: 幾何学的相対エントロピーと偏心レニイ発散
- Authors: Milán Mosonyi, Gergely Bunth, Péter Vrana,
- Abstract要約: 単調な量子相対エントロピーは、P$が確率測度であるときに、単調なR'enyi量を定義する。
P$が確率測度であるときに、単調量子相対エントロピーが単調R'enyi量を定義することを示す。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 16.385815610837167
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: We give systematic ways of defining monotone quantum relative entropies and (multi-variate) quantum R\'enyi divergences starting from a set of monotone quantum relative entropies. Despite its central importance in information theory, only two additive and monotone quantum extensions of the classical relative entropy have been known so far, the Umegaki and the Belavkin-Staszewski relative entropies. Here we give a general procedure to construct monotone and additive quantum relative entropies from a given one with the same properties; in particular, when starting from the Umegaki relative entropy, this gives a new one-parameter family of monotone and additive quantum relative entropies interpolating between the Umegaki and the Belavkin-Staszewski ones on full-rank states. In a different direction, we use a generalization of a classical variational formula to define multi-variate quantum R\'enyi quantities corresponding to any finite set of quantum relative entropies $(D^{q_x})_{x\in X}$ and signed probability measure $P$, as $$ Q_P^{\mathrm{b},\mathbf{q}}((\rho_x)_{x\in X}):=\sup_{\tau\ge 0}\left\{\text{Tr}\,\tau-\sum_xP(x)D^{q_x}(\tau\|\rho_x)\right\}. $$ We show that monotone quantum relative entropies define monotone R\'enyi quantities whenever $P$ is a probability measure. With the proper normalization, the negative logarithm of the above quantity gives a quantum extension of the classical R\'enyi $\alpha$-divergence in the 2-variable case ($X=\{0,1\}$, $P(0)=\alpha$). We show that if both $D^{q_0}$ and $D^{q_1}$ are monotone and additive quantum relative entropies, and at least one of them is strictly larger than the Umegaki relative entropy then the resulting barycentric R\'enyi divergences are strictly between the log-Euclidean and the maximal R\'enyi divergences, and hence they are different from any previously studied quantum R\'enyi divergence.
- Abstract（参考訳）: 我々は、モノトン量子相対エントロピーを定義する体系的な方法と、モノトン量子相対エントロピーの集合から始まる(多重変量)量子R\'enyiの発散を与える。
情報理論における中心的な重要性にもかかわらず、古典的相対エントロピーの2つの加法的および単トン量子拡張しか知られていない。
ここでは、同じ性質を持つ与えられたものから単調および加法的量子相対エントロピーを構築するための一般的な手順を与える。特に、梅垣相対エントロピーから始めると、フルランク状態において、梅垣とベラブキン・スタスツキーの間を補間する単調および加法的量子相対エントロピーの新しい1パラメータの族を与える。
異なる方向において、古典的変分公式の一般化を用いて、量子相対エントロピーの任意の有限集合に対応する多変量量子 R\'enyi 量を $(D^{q_x})_{x\in X}$ と符号付き確率測度 $P$, as $$ Q_P^{\mathrm{b},\mathbf{q}}(((\rho_x)_{x\in X}):=\sup_{\tau\ge 0}\left\{\text{Tr}\,\tau-\sum_xP(x)D^{q_x}(\tau\|\rho_x)\right\} と定義する。
P$が確率測度であるときに、単調な量子相対エントロピーが単調なR'enyi量を定義することを示す。
正規化が正しければ、上記の量の負対数により、2-変数の場合(X=\{0,1\}$,$P(0)=\alpha$)の古典的 R\'enyi $\alpha$-divergence の量子展開が得られる。
D^{q_0}$と$D^{q_1}$の両方が単調で加法的な量子相対エントロピーであり、そのうちの少なくとも一方が梅垣相対エントロピーより厳密に大きい場合、結果として生じる準中心 R\'enyi の発散は、対数ユークリッドと最大 R\'enyi の発散の間に厳密にあり、従って以前に研究された任意の量子 R'enyi の発散とは異なる。
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