論文の概要: On construction of finite averaging sets for $SL(2, \mathbb{C})$ via its
Cartan decomposition
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2010.15783v3
- Date: Fri, 9 Apr 2021 10:25:49 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-04-27 00:40:20.131116
- Title: On construction of finite averaging sets for $SL(2, \mathbb{C})$ via its
Cartan decomposition
- Title（参考訳）: カルタン分解による$sl(2, \mathbb{c})$の有限平均集合の構成について
- Authors: Marcin Markiewicz and Janusz Przewocki
- Abstract要約: リー群に対する物理量の平均化は、量子情報科学や量子光学など多くの文脈に現れる。
本研究では、一般の非コンパクト行列リー群上の平均化に対する有限平均化集合を構成する問題について検討する。
我々は、SL(2, mathbbC)$ に対してそのような集合を明示的に計算するが、この構成は他の場合にも適用できる。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: Averaging physical quantities over Lie groups appears in many contexts across
the rapidly developing branches of physics like quantum information science or
quantum optics. Such an averaging process can be always represented as
averaging with respect to a finite number of elements of the group, called a
finite averaging set. In the previous research such sets, known as $t$-designs,
were constructed only for the case of averaging over unitary groups (hence the
name unitary $t$-designs). In this work we investigate the problem of
constructing finite averaging sets for averaging over general non-compact
matrix Lie groups, which is much more subtle task due to the fact that the the
uniform invariant measure on the group manifold (the Haar measure) is infinite.
We provide a general construction of such sets based on the Cartan
decomposition of the group, which splits the group into its compact and
non-compact components. The averaging over the compact part can be done in a
uniform way, whereas the averaging over the non-compact one has to be endowed
with a suppresing weight function, and can be approached using generalised
Gauss quadratures. This leads us to the general form of finite averaging sets
for semisimple matrix Lie groups in the product form of finite averaging sets
with respect to the compact and non-compact parts. We provide an explicit
calculation of such sets for the group $SL(2, \mathbb{C})$, although our
construction can be applied to other cases. Possible applications of our
results cover finding finite ensambles of random operations in quantum
information science and quantum optics, which can be used in constructions of
randomised quantum algorithms, including optical interferometric
implementations.
- Abstract（参考訳）: リー群に対する物理量の平均化は、量子情報科学や量子光学のような急速に発展する物理学の分野にまたがる多くの文脈に現れる。
そのような平均化過程は、常に、有限平均集合と呼ばれる群の有限個の元に対して平均化として表すことができる。
以前の研究では、このようなセットは$t$-designsとして知られ、ユニタリ群を平均化する場合にのみ構築された(ユニタリ$t$-designsという名前である)。
本研究では、一般の非コンパクト行列リー群を平均化するための有限平均集合を構築する問題を考察する。これは群多様体(ハール測度)上の一様不変測度が無限であるという事実から、はるかに微妙な課題である。
群をコンパクトかつ非コンパクトな成分に分割する、群のカルタン分解に基づくそのような集合の一般構成を提供する。
コンパクト部分上の平均化は一様であるが、非コンパクト部分上の平均化は代用重量関数で与えられなければならず、一般化されたガウス二次数を用いてアプローチすることができる。
これにより、コンパクトかつ非コンパクトな部分に対する有限平均集合の積形式における半単純行列リー群に対する有限平均集合の一般形式が導かれる。
我々は群 $SL(2, \mathbb{C})$ に対してそのような集合を明示的に計算するが、この構成は他の場合にも適用できる。
この結果は、量子情報科学や量子光学におけるランダム演算の有限エンサンブルの発見をカバーしており、光干渉計実装を含むランダム化量子アルゴリズムの構築に利用することができる。
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