論文の概要: A Graphical Calculus for Lagrangian Relations

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2105.06244v2
• Date: Thu, 3 Nov 2022 14:11:10 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-03-31 06:33:58.430859
• Title: A Graphical Calculus for Lagrangian Relations
• Title（参考訳）: ラグランジアン関係のグラフ計算
• Authors: Cole Comfort (University of Oxford), Aleks Kissinger (University of Oxford)
• Abstract要約: シンプレクティックベクトル空間は線形機械系の位相空間である。 シンプレクティックベクトル空間の間の線型ラグランジアン関係の圏は、関係の対称モノイド部分圏である。 任意の体上のラグランジアン関係の圏を線型関係の「二重」圏として新たに提示する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Symplectic vector spaces are the phase spaces of linear mechanical systems. The symplectic form describes, for example, the relation between position and momentum as well as current and voltage. The category of linear Lagrangian relations between symplectic vector spaces is a symmetric monoidal subcategory of relations which gives a semantics for the evolution -- and more generally linear constraints on the evolution -- of various physical systems. We give a new presentation of the category of Lagrangian relations over an arbitrary field as a `doubled' category of linear relations. More precisely, we show that it arises as a variation of Selinger's CPM construction applied to linear relations, where the covariant orthogonal complement functor plays the role of conjugation. Furthermore, for linear relations over prime fields, this corresponds exactly to the CPM construction for a suitable choice of dagger. We can furthermore extend this construction by a single affine shift operator to obtain a category of affine Lagrangian relations. Using this new presentation, we prove the equivalence of the prop of affine Lagrangian relations with the prop of qudit stabilizer theory in odd prime dimensions. We hence obtain a unified graphical language for several disparate process theories, including electrical circuits, Spekkens' toy theory, and odd-prime-dimensional stabilizer quantum circuits.
• Abstract（参考訳）: シンプレクティックベクトル空間は線形機械系の位相空間である。 シンプレクティック形式は、例えば、位置と運動量と電流と電圧の関係を記述する。 シンプレクティックベクトル空間の間の線形ラグランジアン関係の圏は、様々な物理系の進化-およびより一般的な進化に関する線形制約の意味論を与える関係の対称モノイド部分圏である。 任意の体上のラグランジアン関係の圏を線型関係の「二重」圏として新たに提示する。 より正確には、共変直交補関手が共役の役割を果たす線型関係に適用されるセリンガーの CPM 構成の変種として現れることを示す。 さらに、素体上の線型関係については、これはdagger の適切な選択に対する CPM の構成と正確に一致する。 さらに、この構成を単一のアフィンシフト作用素によって拡張し、アフィンラグランジアン関係の圏を得ることができる。 この新しいプレゼンテーションを用いて、奇素次元におけるクディット安定化理論のプロップとアフィンラグランジアン関係のプロップの等価性を証明する。 したがって、電気回路、スペケンスの玩具理論、奇数素次元安定化器量子回路など、様々なプロセス理論のための統一的なグラフィカル言語を得る。

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