論文の概要: A Discussion On the Validity of Manifold Learning

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2106.01608v1
• Date: Thu, 3 Jun 2021 05:52:58 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2021-06-05 00:07:49.525723
• Title: A Discussion On the Validity of Manifold Learning
• Title（参考訳）: マニフォールド学習の有効性に関する考察
• Authors: Dai Shi, Andi Han, Yi Guo, and Junbin Gao
• Abstract要約: 次元性低減(DR)と多様体学習(ManL)は多くの機械学習タスクに広く応用されている。 多様体のチャートマッピング関数を用いて学習結果の有効性を検討する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 26.788522395442374
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Dimensionality reduction (DR) and manifold learning (ManL) have been applied extensively in many machine learning tasks, including signal processing, speech recognition, and neuroinformatics. However, the understanding of whether DR and ManL models can generate valid learning results remains unclear. In this work, we investigate the validity of learning results of some widely used DR and ManL methods through the chart mapping function of a manifold. We identify a fundamental problem of these methods: the mapping functions induced by these methods violate the basic settings of manifolds, and hence they are not learning manifold in the mathematical sense. To address this problem, we provide a provably correct algorithm called fixed points Laplacian mapping (FPLM), that has the geometric guarantee to find a valid manifold representation (up to a homeomorphism). Combining one additional condition(orientation preserving), we discuss a sufficient condition for an algorithm to be bijective for any d-simplex decomposition result on a d-manifold. However, constructing such a mapping function and its computational method satisfying these conditions is still an open problem in mathematics.
• Abstract（参考訳）: 次元性低減(DR)と多様体学習(ManL)は、信号処理、音声認識、神経情報学を含む多くの機械学習タスクに広く応用されている。 しかし、DRモデルとManLモデルが有効な学習結果を生成できるかどうかの理解は未だに不明である。 本研究では,多用されたDR法とManL法の学習結果の有効性について,多様体のチャートマッピング関数を用いて検討する。 これらの手法によって誘導される写像関数は多様体の基本的設定に反するので、数学的な意味では多様体を学習しない。 この問題に対処するために、我々は(同相写像まで)有効な多様体表現を見つける幾何学的保証を持つ不動点ラプラシアン写像(fplm)と呼ばれる証明可能な正しいアルゴリズムを提供する。 1つの追加条件(向き保存)を組み合わせることで、d-多様体上の任意のd-単純分解結果に対して、アルゴリズムが単射となるための十分な条件を議論する。 しかし、そのような写像関数の構築とその条件を満たす計算方法はまだ数学において未解決の問題である。

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