論文の概要: Fast symplectic integrator for Nesterov-type acceleration method

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2106.07620v1
• Date: Tue, 1 Jun 2021 08:57:51 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2021-06-27 09:01:59.106830
• Title: Fast symplectic integrator for Nesterov-type acceleration method
• Title（参考訳）: ネステロフ型加速法の高速シンプレクティック積分器
• Authors: Shin-itiro Goto and Hideitsu Hino
• Abstract要約: 本稿では,非自明な常微分方程式(ODE)に対して,シンプレクティック・コンタクト・ジオメトリに基づく明確な安定な測地を提案する。 提案したシンプレクティック構造はODE内に隠されたシンプレクティック構造と接触構造を保持するため、ランゲ・クッタ法よりも安定である。 数値実験により, 2階シンプレクティック積分器は安定であり, 高収束率が得られることが示された。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 2.1574781022415364
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: In this paper, explicit stable integrators based on symplectic and contact geometries are proposed for a non-autonomous ordinarily differential equation (ODE) found in improving convergence rate of Nesterov's accelerated gradient method. Symplectic geometry is known to be suitable for describing Hamiltonian mechanics, and contact geometry is known as an odd-dimensional counterpart of symplectic geometry. Moreover, a procedure, called symplectization, is a known way to construct a symplectic manifold from a contact manifold, yielding Hamiltonian systems from contact ones. It is found in this paper that a previously investigated non-autonomous ODE can be written as a contact Hamiltonian system. Then, by symplectization of a non-autonomous contact Hamiltonian vector field expressing the non-autonomous ODE, novel symplectic integrators are derived. Because the proposed symplectic integrators preserve hidden symplectic and contact structures in the ODE, they should be more stable than the Runge-Kutta method. Numerical experiments demonstrate that, as expected, the second-order symplectic integrator is stable and high convergence rates are achieved.
• Abstract（参考訳）: 本論文では,Nesterovの加速勾配法の収束率の向上に寄与する非自明な常微分方程式(ODE)に対して,シンプレクティックおよび接触幾何学に基づく明示的な安定積分器を提案する。 シンプレクティック幾何学はハミルトン力学の記述に適していることが知られており、接触幾何学はシンプレクティック幾何学の奇数次元対応として知られている。 さらに、シンプレクタゼーションと呼ばれる手続きは接触多様体からシンプレクティック多様体を構築する既知の方法であり、接触多様体からハミルトン系を生成する。 この論文では、以前に研究された非自明なODEは、接触ハミルトン系として記述できる。 そして、非自明なODEを表す非自明な接触ハミルトンベクトル場のシンプレクティック化により、新しいシンプレクティック積分器が導出される。 提案したシンプレクティック積分器はODE内に隠されたシンプレクティック構造と接触構造を保持するため、ランゲ・クッタ法よりも安定である。 数値実験により, 2階シンプレクティック積分器は安定であり, 高収束率が得られることが示された。

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