論文の概要: Fourth Painlev\'e Equation and $PT$-Symmetric Hamiltonians
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2107.04935v2
- Date: Tue, 3 Aug 2021 21:16:09 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-03-22 20:13:05.736718
- Title: Fourth Painlev\'e Equation and $PT$-Symmetric Hamiltonians
- Title（参考訳）: 第4のペインレブ方程式と$pt$対称ハミルトニアン
- Authors: Carl M. Bender and J. Komijani
- Abstract要約: この論文は、Painlev'e I と II の不安定な分離解が$PT$-symmetric Hamiltonians によって決定されることを示す論文 citeR1,R2 の補題である。
B_rm IV$およびC_rm IV$の定数は、数値的にも解析的にも決定される。
これらの定数の分析値は、非線形パインレフIV方程式をセクシーな$PT$対称ハミルトニアン$H=frac12に対する線形固有値方程式に還元することで得られる。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: This paper is an addendum to earlier papers \cite{R1,R2} in which it was
shown that the unstable separatrix solutions for Painlev\'e I and II are
determined by $PT$-symmetric Hamiltonians. In this paper unstable separatrix
solutions of the fourth Painlev\'e transcendent are studied numerically and
analytically. For a fixed initial value, say $y(0)=1$, a discrete set of
initial slopes $y'(0)=b_n$ give rise to separatrix solutions. Similarly, for a
fixed initial slope, say $y'(0)=0$, a discrete set of initial values $y(0)=c_n$
give rise to separatrix solutions. For Painlev\'e IV the large-$n$ asymptotic
behavior of $b_n$ is $b_n\sim B_{\rm IV}n^{3/4}$ and that of $c_n$ is $c_n\sim
C_{\rm IV} n^{1/2}$. The constants $B_{\rm IV}$ and $C_{\rm IV}$ are determined
both numerically and analytically. The analytical values of these constants are
found by reducing the nonlinear Painlev\'e IV equation to the linear eigenvalue
equation for the sextic $PT$-symmetric Hamiltonian $H=\frac{1}{2}
p^2+\frac{1}{8} x^6$.
- Abstract（参考訳）: この論文は、Painlev\e I と II の不安定なセパラトリクス解が $PT$-symmetric Hamiltonians によって決定されることを示す論文である。
本稿では,第4パインレフ配位子の不安定なセパラトリクス解を数値的,解析的に研究する。
固定初期値に対して、$y(0)=1$ とすると、初期傾斜の離散集合 $y'(0)=b_n$ は分離解をもたらす。
同様に、固定初期勾配に対して、$y'(0)=0$ とすると、初期値の離散集合 $y(0)=c_n$ はセパラトリクス解をもたらす。
Painlev\'e IV に対して、大きな$n$の漸近的振る舞いは$b_n$ の$b_n\sim B_{\rm IV}n^{3/4}$ であり、$c_n$ の$c_n\sim C_{\rm IV} n^{1/2}$ である。
定数$B_{\rm IV}$と$C_{\rm IV}$は数値的にも解析的にも決定される。
これらの定数の分析値は、非線形Painlev\'e IV方程式をセクシーな$PT$-symmetric Hamiltonian $H=\frac{1}{2} p^2+\frac{1}{8} x^6$の線形固有値方程式に還元することで得られる。
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