Fugu-MT 論文翻訳(概要): Limit Distribution Theory for the Smooth 1-Wasserstein Distance with Applications

論文の概要: Limit Distribution Theory for the Smooth 1-Wasserstein Distance with Applications

arxiv url: http://arxiv.org/abs/2107.13494v2
Date: Thu, 29 Jul 2021 13:39:02 GMT
ステータス: 処理完了
システム内更新日: 2021-07-30 10:56:52.634696
Title: Limit Distribution Theory for the Smooth 1-Wasserstein Distance with Applications
Title（参考訳）: 滑らかな1-wasserstein距離の極限分布理論とその応用
Authors: Ritwik Sadhu and Ziv Goldfeld and Kengo Kato
Abstract要約: スムーズな1-ワッサーシュタイン距離 (SWD) $W_1sigma$ は経験的近似における次元の呪いを軽減する手段として最近提案された。この研究は、高次元の極限分布結果を含むSWDの詳細な統計的研究を行う。
参考スコア（独自算出の注目度）: 18.618590805279187
License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
Abstract: The smooth 1-Wasserstein distance (SWD) $W_1^\sigma$ was recently proposed as a means to mitigate the curse of dimensionality in empirical approximation while preserving the Wasserstein structure. Indeed, SWD exhibits parametric convergence rates and inherits the metric and topological structure of the classic Wasserstein distance. Motivated by the above, this work conducts a thorough statistical study of the SWD, including a high-dimensional limit distribution result for empirical $W_1^\sigma$, bootstrap consistency, concentration inequalities, and Berry-Esseen type bounds. The derived nondegenerate limit stands in sharp contrast with the classic empirical $W_1$, for which a similar result is known only in the one-dimensional case. We also explore asymptotics and characterize the limit distribution when the smoothing parameter $\sigma$ is scaled with $n$, converging to $0$ at a sufficiently slow rate. The dimensionality of the sampled distribution enters empirical SWD convergence bounds only through the prefactor (i.e., the constant). We provide a sharp characterization of this prefactor's dependence on the smoothing parameter and the intrinsic dimension. This result is then used to derive new empirical convergence rates for classic $W_1$ in terms of the intrinsic dimension. As applications of the limit distribution theory, we study two-sample testing and minimum distance estimation (MDE) under $W_1^\sigma$. We establish asymptotic validity of SWD testing, while for MDE, we prove measurability, almost sure convergence, and limit distributions for optimal estimators and their corresponding $W_1^\sigma$ error. Our results suggest that the SWD is well suited for high-dimensional statistical learning and inference.
Abstract（参考訳）: 滑らかな 1-wasserstein distance (swd) $w_1^\sigma$ は、ワッサーシュタイン構造を維持しながら経験的近似における次元の呪いを緩和する方法として最近提案されている。実際、SWDはパラメトリック収束率を示し、古典的なワッサーシュタイン距離の計量と位相構造を継承する。このように動機づけられた本研究は,経験値$w_1^\sigma$,ブートストラップ一貫性,濃度不等式,ベリー・エスセン型境界に対する高次元の極限分布結果を含む,swdの詳細な統計的研究を行っている。導出非退化極限は、古典的な経験的 w_1$ と鋭く対照的であり、同様の結果が1次元の場合のみ知られている。また、スムージングパラメータ$\sigma$が$n$にスケールされ、十分に遅いレートで$0$に収束するときに、漸近性を調べ、極限分布を特徴づける。サンプル分布の次元性は、事前因子(すなわち定数)を通してのみ経験的なswd収束境界に入る。我々は,この因子がスムースなパラメータと本質的な次元に依存していることの鋭い特徴を与える。この結果は、古典的な$W_1$の新しい経験的収束率を本質的な次元で導き出すために用いられる。極限分布理論の応用として、$W_1^\sigma$の下で二サンプル試験と最小距離推定(MDE)について検討する。我々はSWDテストの漸近的妥当性を確立し、MDEでは測定可能性、ほぼ確実に収束し、最適推定器と対応する$W_1^\sigma$誤差の分布を制限する。その結果,SWDは高次元の統計的学習や推論に適していることが示唆された。

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