論文の概要: Neural Operator: Learning Maps Between Function Spaces

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2108.08481v5
• Date: Fri, 7 Apr 2023 17:30:37 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-04-10 15:51:05.167698
• Title: Neural Operator: Learning Maps Between Function Spaces
• Title（参考訳）: Neural Operator: 関数空間間のマップ学習
• Authors: Nikola Kovachki, Zongyi Li, Burigede Liu, Kamyar Azizzadenesheli, Kaushik Bhattacharya, Andrew Stuart, Anima Anandkumar
• Abstract要約: 本稿では,無限次元関数空間間を写像する演算子,いわゆるニューラル演算子を学習するためのニューラルネットワークの一般化を提案する。 提案したニューラル作用素に対して普遍近似定理を証明し、任意の非線形連続作用素を近似することができることを示す。 ニューラル作用素に対する重要な応用は、偏微分方程式の解作用素に対する代理写像を学習することである。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 57.90284928158383
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: The classical development of neural networks has primarily focused on learning mappings between finite dimensional Euclidean spaces or finite sets. We propose a generalization of neural networks to learn operators, termed neural operators, that map between infinite dimensional function spaces. We formulate the neural operator as a composition of linear integral operators and nonlinear activation functions. We prove a universal approximation theorem for our proposed neural operator, showing that it can approximate any given nonlinear continuous operator. The proposed neural operators are also discretization-invariant, i.e., they share the same model parameters among different discretization of the underlying function spaces. Furthermore, we introduce four classes of efficient parameterization, viz., graph neural operators, multi-pole graph neural operators, low-rank neural operators, and Fourier neural operators. An important application for neural operators is learning surrogate maps for the solution operators of partial differential equations (PDEs). We consider standard PDEs such as the Burgers, Darcy subsurface flow, and the Navier-Stokes equations, and show that the proposed neural operators have superior performance compared to existing machine learning based methodologies, while being several orders of magnitude faster than conventional PDE solvers.
• Abstract（参考訳）: 古典的なニューラルネットワークの発展は、主に有限次元ユークリッド空間または有限集合間の写像の学習に焦点を当てている。 本稿では,無限次元関数空間間を写像する演算子,いわゆるニューラル演算子を学習するためのニューラルネットワークの一般化を提案する。 線形積分演算子と非線形活性化関数の合成としてニューラルネットワークを定式化する。 提案するニューラル作用素に対する普遍近似定理を証明し、任意の非線形連続作用素を近似できることを示す。 提案されたニューラル演算子は離散化不変であり、すなわち、基底関数空間の異なる離散化の間で同じモデルパラメータを共有する。 さらに,効率の高いパラメータ化,viz.,グラフニューラルネットワーク,多極グラフニューラルネットワーク,低ランクニューラルネットワーク,フーリエニューラルネットワークの4つのクラスを導入する。 ニューラル作用素の重要な応用は、偏微分方程式(PDE)の解作用素に対する代理写像の学習である。 本稿では,バーガース,ダーシー地下流れ,ナビエ・ストークス方程式などの標準的なPDEを考察し,従来のPDE解法よりも数桁高速でありながら,提案したニューラル演算子が既存の機械学習ベースの手法よりも優れた性能を有することを示す。

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