論文の概要: Semi-Implicit Neural Solver for Time-dependent Partial Differential
Equations
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2109.01467v1
- Date: Fri, 3 Sep 2021 12:03:10 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2021-09-06 17:28:16.456498
- Title: Semi-Implicit Neural Solver for Time-dependent Partial Differential
Equations
- Title（参考訳）: 時間依存部分微分方程式に対する半特異ニューラルネットワーク
- Authors: Suprosanna Shit, Ivan Ezhov, Leon M\"achler, Abinav R., Jana Lipkova,
Johannes C. Paetzold, Florian Kofler, Marie Piraud, Bjoern H. Menze
- Abstract要約: 本稿では,PDEの任意のクラスに対して,データ駆動方式で最適な反復スキームを学習するためのニューラルソルバを提案する。
従来の反復解法に類似したニューラルソルバの正当性と収束性に関する理論的保証を提供する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 4.246966726709308
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: Fast and accurate solutions of time-dependent partial differential equations
(PDEs) are of pivotal interest to many research fields, including physics,
engineering, and biology. Generally, implicit/semi-implicit schemes are
preferred over explicit ones to improve stability and correctness. However,
existing semi-implicit methods are usually iterative and employ a
general-purpose solver, which may be sub-optimal for a specific class of PDEs.
In this paper, we propose a neural solver to learn an optimal iterative scheme
in a data-driven fashion for any class of PDEs. Specifically, we modify a
single iteration of a semi-implicit solver using a deep neural network. We
provide theoretical guarantees for the correctness and convergence of neural
solvers analogous to conventional iterative solvers. In addition to the
commonly used Dirichlet boundary condition, we adopt a diffuse domain approach
to incorporate a diverse type of boundary conditions, e.g., Neumann. We show
that the proposed neural solver can go beyond linear PDEs and applies to a
class of non-linear PDEs, where the non-linear component is non-stiff. We
demonstrate the efficacy of our method on 2D and 3D scenarios. To this end, we
show how our model generalizes to parameter settings, which are different from
training; and achieves faster convergence than semi-implicit schemes.
- Abstract（参考訳）: 時間依存偏微分方程式(PDE)の高速かつ正確な解は、物理学、工学、生物学を含む多くの研究分野において重要な関心事である。
一般に、安定性と正確性を改善するために、暗黙的/半単純化スキームが明示的なスキームよりも好ましい。
しかし、既存の半単純法は通常反復的であり、特定の PDE のクラスに準最適であるような汎用解法を用いる。
本稿では,任意の種類のPDEに対して,データ駆動方式で最適な反復スキームを学習するニューラルネットワークを提案する。
具体的には,ディープニューラルネットワークを用いて,半単純解法を1回の反復で修正する。
従来の反復解法に類似したニューラルソルバの正当性と収束性に関する理論的保証を提供する。
一般的に用いられるディリクレ境界条件に加えて、拡散領域アプローチを採用して、例えばノイマンのような様々な種類の境界条件を組み込む。
提案したニューラルソルバは線形PDEを超えることができ、非線形成分が非剛性である非線形PDEのクラスに適用可能であることを示す。
提案手法の有効性を2次元および3次元のシナリオで示す。
この目的のために,本モデルが学習と異なるパラメータ設定にどのように一般化するかを示し,半単純スキームよりも高速な収束を実現する。
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