論文の概要: Solving and Learning Nonlinear PDEs with Gaussian Processes
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2103.12959v1
- Date: Wed, 24 Mar 2021 03:16:08 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2021-03-25 13:47:53.766189
- Title: Solving and Learning Nonlinear PDEs with Gaussian Processes
- Title（参考訳）: ガウス過程を用いた非線形PDEの解法と学習
- Authors: Yifan Chen and Bamdad Hosseini and Houman Owhadi and Andrew M Stuart
- Abstract要約: 非線形偏微分方程式を解くための単純で厳密で統一された枠組みを提案する。
提案手法は、コロケーションカーネル法を非線形PDEとIPに自然に一般化する。
IP では,PDE におけるパラメータの同定と解の数値近似を反復的に行う手法が提案されているが,アルゴリズムは両手法を同時に扱う。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 11.09729362243947
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: We introduce a simple, rigorous, and unified framework for solving nonlinear
partial differential equations (PDEs), and for solving inverse problems (IPs)
involving the identification of parameters in PDEs, using the framework of
Gaussian processes. The proposed approach (1) provides a natural generalization
of collocation kernel methods to nonlinear PDEs and IPs, (2) has guaranteed
convergence with a path to compute error bounds in the PDE setting, and (3)
inherits the state-of-the-art computational complexity of linear solvers for
dense kernel matrices. The main idea of our method is to approximate the
solution of a given PDE with a MAP estimator of a Gaussian process given the
observation of the PDE at a finite number of collocation points. Although this
optimization problem is infinite-dimensional, it can be reduced to a
finite-dimensional one by introducing additional variables corresponding to the
values of the derivatives of the solution at collocation points; this
generalizes the representer theorem arising in Gaussian process regression. The
reduced optimization problem has a quadratic loss and nonlinear constraints,
and it is in turn solved with a variant of the Gauss-Newton method. The
resulting algorithm (a) can be interpreted as solving successive linearizations
of the nonlinear PDE, and (b) is found in practice to converge in a small
number (two to ten) of iterations in experiments conducted on a range of PDEs.
For IPs, while the traditional approach has been to iterate between the
identifications of parameters in the PDE and the numerical approximation of its
solution, our algorithm tackles both simultaneously. Experiments on nonlinear
elliptic PDEs, Burgers' equation, a regularized Eikonal equation, and an IP for
permeability identification in Darcy flow illustrate the efficacy and scope of
our framework.
- Abstract（参考訳）: 非線形偏微分方程式(pdes)を解くための単純で厳密で統一された枠組みを導入し、ガウス過程の枠組みを用いてpdesにおけるパラメータの同定を含む逆問題(ips)を解く。
提案手法は,(1)非線型PDEおよびIPに対するコロケーションカーネル手法の自然な一般化,(2)PDE設定における誤差境界の計算経路との収束を保証し,(3)高密度カーネル行列に対する線形解の最先端の計算複雑性を継承する。
本手法の主な考え方は、有限個の座標点におけるPDEの観測から、与えられたPDEの解をガウス過程のMAP推定器で近似することである。
この最適化問題は無限次元であるが、コロケーション点における解の微分の値に対応する追加変数を導入することで有限次元に還元することができ、ガウス過程の回帰から生じる表現定理を一般化する。
削減された最適化問題には2次損失と非線形制約があり、ガウス・ニュートン法の変種で解かれる。
結果のアルゴリズム (a) は非線形PDEの逐次線形化を解くものとして解釈することができ、(b) は実際には、様々なPDEで実施された実験において、少数の反復(2から10) に収束する。
IP では,PDE におけるパラメータの同定と解の数値近似を反復的に行う手法が提案されているが,アルゴリズムは両手法を同時に扱う。
非線形楕円型PDE, バーガーズ方程式, 正規化アイコン方程式, ダーシー流中における透過性同定のためのIP実験は, 本フレームワークの有効性と適用範囲を示している。
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