論文の概要: Least-Squares Neural Network (LSNN) Method For Scalar Nonlinear Hyperbolic Conservation Laws: Discrete Divergence Operator

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2110.10895v3
• Date: Sun, 7 May 2023 06:12:16 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-05-10 01:20:41.780359
• Title: Least-Squares Neural Network (LSNN) Method For Scalar Nonlinear Hyperbolic Conservation Laws: Discrete Divergence Operator
• Title（参考訳）: 非線形双曲保存法における最小二乗ニューラルネットワーク(LSNN)法:離散分散演算子
• Authors: Zhiqiang Cai, Jingshuang Chen, Min Liu
• Abstract要約: スカラー線形双曲保存法を解くために、最小二乗ニューラルネットワーク(LSNN)法が導入された。 本稿では,HCLを時間空間の発散形式に書き換え,新たな発散作用素を導入する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 4.3226069572849966
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: A least-squares neural network (LSNN) method was introduced for solving scalar linear and nonlinear hyperbolic conservation laws (HCLs) in [7, 6]. This method is based on an equivalent least-squares (LS) formulation and uses ReLU neural network as approximating functions, making it ideal for approximating discontinuous functions with unknown interface location. In the design of the LSNN method for HCLs, the numerical approximation of differential operators is a critical factor, and standard numerical or automatic differentiation along coordinate directions can often lead to a failed NN-based method. To overcome this challenge, this paper rewrites HCLs in their divergence form of space and time and introduces a new discrete divergence operator. As a result, the proposed LSNN method is free of penalization of artificial viscosity. Theoretically, the accuracy of the discrete divergence operator is estimated even for discontinuous solutions. Numerically, the LSNN method with the new discrete divergence operator was tested for several benchmark problems with both convex and non-convex fluxes, and was able to compute the correct physical solution for problems with rarefaction, shock or compound waves. The method is capable of capturing the shock of the underlying problem without oscillation or smearing, even without any penalization of the entropy condition, total variation, and/or artificial viscosity.
• Abstract（参考訳）: 7, 6] におけるスカラー線形・非線形双曲保存則(HCL)の解法として, 最小二乗ニューラルネットワーク(LSNN)法を導入した。 この方法は、等価最小二乗法(LS)の定式化に基づいており、ReLUニューラルネットワークを近似関数として使用し、不連続関数を未知のインターフェース位置で近似するのに最適である。 HCLのLSNN法の設計において、微分演算子の数値近似は重要な要素であり、座標方向に沿った標準的な数値や自動微分は、しばしば失敗するNN法につながる。 この課題を克服するため,本稿ではhclを空間と時間の発散形式で書き直し,新たな離散発散演算子を導入する。 その結果,LSNN法は人工粘度のペナル化を伴わないことがわかった。 理論的には、離散発散作用素の精度は不連続解に対しても推定される。 数値的には、新しい離散分散演算子を用いたLSNN法は、凸流と非凸流の双方でいくつかのベンチマーク問題に対して試験され、希薄化、衝撃波、複合波の問題に対する正しい物理解を計算することができた。 エントロピー条件、全変動、および/又は人工粘度をペナライゼーションすることなく、振動やスメアリングをすることなく、基礎となる問題の衝撃を捉えることができる。

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