論文の概要: Mutually unbiased bases: polynomial optimization and symmetry
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2111.05698v4
- Date: Wed, 21 Sep 2022 15:34:07 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-03-08 12:08:38.975543
- Title: Mutually unbiased bases: polynomial optimization and symmetry
- Title（参考訳）: 相互非バイアス基底:多項式最適化と対称性
- Authors: Sander Gribling and Sven Polak
- Abstract要約: 自然な疑問は、どのペア$(d,k)$が存在するかであり、次元$d$の互いに偏りのない基底は$k$である。
これは自然に非可換最適化問題と半定値プログラムの関連する階層に繋がる。
この対称性を利用して(解析的に)半定値プログラムのサイズを減らし(数的に)トラクタブルにする。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: A set of $k$ orthonormal bases of $\mathbb C^d$ is called mutually unbiased
if $|\langle e,f\rangle |^2 = 1/d$ whenever $e$ and $f$ are basis vectors in
distinct bases. A natural question is for which pairs $(d,k)$ there exist $k$
mutually unbiased bases in dimension $d$. The (well-known) upper bound $k \leq
d+1$ is attained when $d$ is a power of a prime. For all other dimensions it is
an open problem whether the bound can be attained. Navascu\'es, Pironio, and
Ac\'in showed how to reformulate the existence question in terms of the
existence of a certain $C^*$-algebra. This naturally leads to a noncommutative
polynomial optimization problem and an associated hierarchy of semidefinite
programs. The problem has a symmetry coming from the wreath product of $S_d$
and $S_k$.
We exploit this symmetry (analytically) to reduce the size of the
semidefinite programs making them (numerically) tractable. A key step is a
novel explicit decomposition of the $S_d \wr S_k$-module $\mathbb C^{([d]\times
[k])^t}$ into irreducible modules. We present numerical results for small $d,k$
and low levels of the hierarchy. In particular, we obtain sum-of-squares proofs
for the (well-known) fact that there do not exist $d+2$ mutually unbiased bases
in dimensions $d=2,3,4,5,6,7,8$. Moreover, our numerical results indicate that
a sum-of-squares refutation, in the above-mentioned framework, of the existence
of more than $3$ MUBs in dimension $6$ requires polynomials of total degree at
least $12$.
- Abstract（参考訳）: k$ の正則基底の集合 $\mathbb C^d$ が互いに非バイアスであるとき、$|\langle e,f\rangle |^2 = 1/d$ は、任意の $e$ と $f$ は異なる基底の基底ベクトルである。
自然な疑問は、どのペア$(d,k)$が存在するかであり、次元$d$の互いに偏りのない基底は$k$である。
良く知られた)上限である$k \leq d+1$ は、$d$ が素数であるときに得られる。
他のすべての次元に対して、その境界が達成できるかどうかの問題は開である。
Navascu\'es, Pironio, Ac\'in は、ある$C^*$-algebraの存在という観点から、存在問題の再構成方法を示した。
これは自然に非可換多項式最適化問題と半定値プログラムの関連階層につながる。
問題は、wreath積が$s_d$と$s_k$から生じる対称性である。
この対称性を利用して(解析的に)半定値プログラムのサイズを減らし(数的に)トラクタブルにする。
鍵となるステップは、$s_d \wr s_k$-module $\mathbb c^{([d]\times [k])^t}$ を既約加群に新しい明示的な分解である。
小額の$d,k$と低レベルの階層に対して数値的な結果を示す。
特に、次元 $d=2,3,4,5,6,7,8$ の互いに偏りのない基底が存在しない(よく知られた)事実の和の証明が得られる。
さらに, 上述のフレームワークでは, 次元6ドルで3ドル以上のMUBが存在する場合, 総次数12ドル以上の多項式が要求されることが示唆された。
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