論文の概要: Dual bounds for the positive definite functions approach to mutually
unbiased bases
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2202.13259v1
- Date: Sun, 27 Feb 2022 01:06:56 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-02-23 19:48:09.266701
- Title: Dual bounds for the positive definite functions approach to mutually
unbiased bases
- Title(参考訳): 正定値関数の双有界が互いにバイアスのない基底に近づく
- Authors: Afonso S. Bandeira, Nikolaus Doppelbauer, Dmitriy Kunisky
- Abstract要約: 長年の開問題は、$mathbbC6$に7つの相互に偏りのない基底 (MUB) が存在するかどうかを問うものである。
そのような等級の方法が少なくとも6つ存在することは証明できない。
- 参考スコア(独自算出の注目度): 6.6673883720496425
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: A long-standing open problem asks if there can exist 7 mutually unbiased
bases (MUBs) in $\mathbb{C}^6$, or, more generally, $d + 1$ MUBs in
$\mathbb{C}^d$ for any $d$ that is not a prime power. The recent work of
Kolountzakis, Matolcsi, and Weiner (2016) proposed an application of the method
of positive definite functions (a relative of Delsarte's method in coding
theory and Lov\'{a}sz's semidefinite programming relaxation of the independent
set problem) as a means of answering this question in the negative. Namely,
they ask whether there exists a polynomial of a unitary matrix input satisfying
various properties which, through the method of positive definite functions,
would show the non-existence of 7 MUBs in $\mathbb{C}^6$. Using a convex
duality argument, we prove that such a polynomial of degree at most 6 cannot
exist. We also propose a general dual certificate which we conjecture to
certify that this method can never show that there exist strictly fewer than $d
+ 1$ MUBs in $\mathbb{C}^d$.
- Abstract(参考訳): 長年のオープンな問題は、$\mathbb{C}^6$に7つの相互に偏りのない基底 (MUBs) が存在するか、あるいはより一般的には、$d + 1$ MUBs in $\mathbb{C}^d$ for any $d$ is not a prime power。
Kolountzakis, Matolcsi, and Weiner (2016) の最近の研究は、正定値関数の方法(コーディング理論におけるデルサルテの手法とLov\'{a}sz の半定値プログラミング緩和に対する独立集合問題の相対性)を負の解法として提案した。
すなわち、正定値関数の方法を通じて、$\mathbb{C}^6$ の 7 MUB の非存在を示すような様々な性質を満たすユニタリ行列入力の多項式が存在するかどうかを問う。
凸双対論を用いて、そのような次数多項式が少なくとも6で存在しないことを証明する。
我々はまた、この方法が$\mathbb{c}^d$ の中で厳密に$d + 1$ mubs 未満であることを示すことができないことを証明できる一般的な双対証明書を提案する。
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