論文の概要: Speeding up Learning Quantum States through Group Equivariant
Convolutional Quantum Ans{\"a}tze
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2112.07611v1
- Date: Tue, 14 Dec 2021 18:03:43 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2021-12-15 14:19:55.177787
- Title: Speeding up Learning Quantum States through Group Equivariant
Convolutional Quantum Ans{\"a}tze
- Title（参考訳）: 群同変畳み込み量子ans{\"a}tzeによる量子状態学習の高速化
- Authors: Han Zheng, Zimu Li, Junyu Liu, Sergii Strelchuk, Risi Kondor
- Abstract要約: 我々は、$S_n$-equivariant量子畳み込み回路の理論的枠組みを開発する。
量子回路は行列要素の計算において超指数的高速化を実現するための自然な選択であることを示す。
我々のフレームワークは、グローバルな普遍性に関する幅広い問題に自然に適用できる。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 18.104579554539633
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: We develop a theoretical framework for $S_n$-equivariant quantum
convolutional circuits, building on and significantly generalizing Jordan's
Permutational Quantum Computing (PQC) formalism. We show that quantum circuits
are a natural choice for Fourier space neural architectures affording a
super-exponential speedup in computing the matrix elements of $S_n$-Fourier
coefficients compared to the best known classical Fast Fourier Transform (FFT)
over the symmetric group. In particular, we utilize the Okounkov-Vershik
approach to prove Harrow's statement (Ph.D. Thesis 2005 p.160) on the
equivalence between $\operatorname{SU}(d)$- and $S_n$-irrep bases and to
establish the $S_n$-equivariant Convolutional Quantum Alternating Ans{\"a}tze
($S_n$-CQA) using Young-Jucys-Murphy (YJM) elements. We prove that $S_n$-CQA
are dense, thus expressible within each $S_n$-irrep block, which may serve as a
universal model for potential future quantum machine learning and optimization
applications. Our method provides another way to prove the universality of
Quantum Approximate Optimization Algorithm (QAOA), from the
representation-theoretical point of view. Our framework can be naturally
applied to a wide array of problems with global $\operatorname{SU}(d)$
symmetry. We present numerical simulations to showcase the effectiveness of the
ans{\"a}tze to find the sign structure of the ground state of the $J_1$--$J_2$
antiferromagnetic Heisenberg model on the rectangular and Kagome lattices. Our
work identifies quantum advantage for a specific machine learning problem, and
provides the first application of the celebrated Okounkov-Vershik's
representation theory to machine learning and quantum physics.
- Abstract（参考訳）: 我々は、JordanのPQC(Permutational Quantum Computing)形式に基づく、$S_n$-equivariant量子畳み込み回路の理論的フレームワークを開発した。
量子回路は、対称群上の古典的Fast Fourier Transform (FFT)と比較して、$S_n$-Fourier係数の行列要素の計算において超指数的高速化をもたらすフーリエ空間ニューラルアーキテクチャの自然な選択であることを示す。
特に、Okounkov-Vershik 法を用いて、Harrow の主張(Ph.D. Thesis 2005 p.160)を $\operatorname{SU}(d)$- と $S_n$-irrep 基底の同値性で証明し、Young-Jucys-Murphy (YJM) 要素を用いて$S_n$-equivariant Convolutional Quantum Alternating Ans{\"a}tze$S_n$-CQA) を確立する。
我々は、$s_n$-cqaが高密度であることを証明し、従って$s_n$-irrepブロック内で表現可能であることを証明した。
本手法は、量子近似最適化アルゴリズム(QAOA)の普遍性を表現論的観点から証明する別の方法を提供する。
我々のフレームワークは、大域的に$\operatorname{su}(d)$ 対称性を持つ幅広い問題に対して自然に適用できる。
J_1$-$J_2$反強磁性ハイゼンベルク模型の基底状態の符号構造を長方形格子と加護目格子上に示すために,Ans{\"a}tzeの有効性を示す数値シミュレーションを行った。
本研究は、特定の機械学習問題に対する量子アドバンテージを特定し、有名なオコウンコフ・ヴェルシクの表現論を機械学習と量子物理学に初めて応用する。
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