論文の概要: Approximating Persistent Homology for Large Datasets

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2204.09155v1
• Date: Tue, 19 Apr 2022 23:07:27 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2022-04-21 14:17:58.707380
• Title: Approximating Persistent Homology for Large Datasets
• Title（参考訳）: 大規模データセットに対する永続ホモロジーの近似
• Authors: Yueqi Cao, Anthea Monod
• Abstract要約: 永続ホモロジーは、永続図形の統計的な要約を生成する。 広く使われているにもかかわらず、データセットが非常に大きい場合、永続的ホモロジーは単純に実装できない。 サブサンプルの永続性図の平均は、より大きなデータセットの真の永続性ホモロジーの有効な近似であることを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Persistent homology is an important methodology from topological data analysis which adapts theory from algebraic topology to data settings and has been successfully implemented in many applications. It produces a statistical summary in the form of a persistence diagram, which captures the shape and size of the data. Despite its widespread use, persistent homology is simply impossible to implement when a dataset is very large. In this paper we address the problem of finding a representative persistence diagram for prohibitively large datasets. We adapt the classical statistical method of bootstrapping, namely, drawing and studying smaller multiple subsamples from the large dataset. We show that the mean of the persistence diagrams of subsamples -- taken as a mean persistence measure computed from the subsamples -- is a valid approximation of the true persistent homology of the larger dataset. We give the rate of convergence of the mean persistence diagram to the true persistence diagram in terms of the number of subsamples and size of each subsample. Given the complex algebraic and geometric nature of persistent homology, we adapt the convexity and stability properties in the space of persistence diagrams together with random set theory to achieve our theoretical results for the general setting of point cloud data. We demonstrate our approach on simulated and real data, including an application of shape clustering on complex large-scale point cloud data.
• Abstract（参考訳）: 永続ホモロジーは、代数トポロジーからデータ設定へ理論を適用するトポロジーデータ解析から重要な方法論であり、多くのアプリケーションでうまく実装されている。 データの形状とサイズをキャプチャするパーシステンスダイアグラム(persistence diagram)という形式で,統計的な要約を生成する。 広く使われているにもかかわらず、データセットが非常に大きい場合、永続的ホモロジーは単純に実装できない。 本稿では, 大規模データセットに対する代表的永続化図の検索問題に対処する。 従来のブートストラップ方式、すなわち、大規模データセットからより小さな複数のサブサンプルを描画し、研究する。 サブサンプルの永続性図の平均 - サブサンプルから計算された平均持続性尺度として取られた - は、より大きなデータセットの真の永続性ホモロジーの有効な近似であることを示す。 我々は、各サブサンプルのサブサンプル数とサイズの観点から、真の永続化図に平均永続化図の収束率を与える。 永続ホモロジーの複素代数的および幾何学的性質を考慮し、永続図形の空間における凸性と安定性特性をランダムな集合理論とともに適用し、点雲データの一般的な設定に関する理論的結果を達成する。 我々は、複雑な大規模クラウドデータに対する形状クラスタリングの適用を含む、シミュレーションおよび実データに対するアプローチを実証する。

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