論文の概要: Robust SDE-Based Variational Formulations for Solving Linear PDEs via Deep Learning

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2206.10588v1
• Date: Tue, 21 Jun 2022 17:59:39 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2022-06-22 15:16:11.452298
• Title: Robust SDE-Based Variational Formulations for Solving Linear PDEs via Deep Learning
• Title（参考訳）: 深い学習を通して線形PDEを解くためのロバストSDEに基づく変分式
• Authors: Lorenz Richter, Julius Berner
• Abstract要約: モンテカルロ法とディープラーニングを組み合わせることで、高次元の偏微分方程式(PDE)を解くアルゴリズムが効率的になった。 関連する学習問題は、しばしば関連する微分方程式(SDE)に基づく変分定式化として記述される。 したがって、収束を正確にかつ迅速に到達するためには、低分散を示す適切な勾配推定器に頼ることが重要である。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 6.1678491628787455
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: The combination of Monte Carlo methods and deep learning has recently led to efficient algorithms for solving partial differential equations (PDEs) in high dimensions. Related learning problems are often stated as variational formulations based on associated stochastic differential equations (SDEs), which allow the minimization of corresponding losses using gradient-based optimization methods. In respective numerical implementations it is therefore crucial to rely on adequate gradient estimators that exhibit low variance in order to reach convergence accurately and swiftly. In this article, we rigorously investigate corresponding numerical aspects that appear in the context of linear Kolmogorov PDEs. In particular, we systematically compare existing deep learning approaches and provide theoretical explanations for their performances. Subsequently, we suggest novel methods that can be shown to be more robust both theoretically and numerically, leading to substantial performance improvements.
• Abstract（参考訳）: 近年,モンテカルロ法とディープラーニングの組み合わせにより,偏微分方程式(PDE)を高次元で解くアルゴリズムが提案されている。 関連する学習問題はしばしば、関連する確率微分方程式(sdes)に基づく変分定式化として記述され、勾配に基づく最適化法を用いて対応する損失を最小化することができる。 したがって、各数値的実装において、収束を正確かつ迅速に到達するために、低分散を示す適切な勾配推定子に依存することが不可欠である。 本稿では,線形コルモゴロフPDEの文脈に現れる対応する数値的側面について,厳密に検討する。 特に,既存のディープラーニング手法を体系的に比較し,その性能に関する理論的説明を提供する。 その後, 理論上, 数値的にもより頑健であることを示す新しい手法を提案することにより, 性能が大幅に向上した。

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