論文の概要: A Deep Learning approach for parametrized and time dependent Partial Differential Equations using Dimensionality Reduction and Neural ODEs

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2502.08683v1
• Date: Wed, 12 Feb 2025 11:16:15 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-02-14 13:47:51.068891
• Title: A Deep Learning approach for parametrized and time dependent Partial Differential Equations using Dimensionality Reduction and Neural ODEs
• Title（参考訳）: 次元化とニューラル・オードを用いたパラメータ化および時間依存部分微分方程式の深層学習手法
• Authors: Alessandro Longhi, Danny Lathouwers, Zoltán Perkó,
• Abstract要約: 時間依存・パラメトリック・(典型的には)非線形PDEに対する古典的数値解法と類似した自己回帰・データ駆動手法を提案する。 DRを活用することで、より正確な予測を提供するだけでなく、より軽量でより高速なディープラーニングモデルを提供できることを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 46.685771141109306
• License:
• Abstract: Partial Differential Equations (PDEs) are central to science and engineering. Since solving them is computationally expensive, a lot of effort has been put into approximating their solution operator via both traditional and recently increasingly Deep Learning (DL) techniques. A conclusive methodology capable of accounting both for (continuous) time and parameter dependency in such DL models however is still lacking. In this paper, we propose an autoregressive and data-driven method using the analogy with classical numerical solvers for time-dependent, parametric and (typically) nonlinear PDEs. We present how Dimensionality Reduction (DR) can be coupled with Neural Ordinary Differential Equations (NODEs) in order to learn the solution operator of arbitrary PDEs. The idea of our work is that it is possible to map the high-fidelity (i.e., high-dimensional) PDE solution space into a reduced (low-dimensional) space, which subsequently exhibits dynamics governed by a (latent) Ordinary Differential Equation (ODE). Solving this (easier) ODE in the reduced space allows avoiding solving the PDE in the high-dimensional solution space, thus decreasing the computational burden for repeated calculations for e.g., uncertainty quantification or design optimization purposes. The main outcome of this work is the importance of exploiting DR as opposed to the recent trend of building large and complex architectures: we show that by leveraging DR we can deliver not only more accurate predictions, but also a considerably lighter and faster DL model compared to existing methodologies.
• Abstract（参考訳）: 偏微分方程式(Partial Differential Equations, PDE)は、科学と工学の中心である。 それらの解決には計算コストがかかるため、従来のDL(Deep Learning)技術と最近ますます普及しているDL(Deep Learning)技術の両方を通じて、ソリューションオペレーターの近似に多くの労力が費やされている。 しかし、そのようなDLモデルにおける(連続的な)時間とパラメータ依存性の両方を考慮できる決定的な方法論は、いまだに不足している。 本稿では,時間依存・パラメトリック・(典型的には)非線形PDEに対する古典的数値解法と類似した自己回帰・データ駆動手法を提案する。 本稿では、任意のPDEの解演算子を学習するために、次元性還元(DR)をニューラル正規微分方程式(NODE)とどのように結合するかを示す。 我々の研究の考え方は、高忠実(すなわち高次元)のPDE解空間を還元された(低次元)空間にマッピングすることができ、その後、(最近)正規微分方程式(ODE)によって支配されるダイナミクスを示すことである。 この(より簡単な)ODEを縮小された空間で解くことで、高次元の解空間におけるPDEの解決を回避し、例えば不確実量化や設計最適化の目的に対する繰り返し計算の計算負担を軽減できる。 この研究の主な成果は、大規模で複雑なアーキテクチャを構築する最近のトレンドとは対照的に、DRを活用することの重要性である。

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