論文の概要: Interpolation between modified logarithmic Sobolev and Poincare
inequalities for quantum Markovian dynamics
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2207.06422v2
- Date: Tue, 26 Jul 2022 12:51:28 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-02-05 06:50:00.671834
- Title: Interpolation between modified logarithmic Sobolev and Poincare
inequalities for quantum Markovian dynamics
- Title（参考訳）: 量子マルコフ力学における修正対数ソボレフとポインカレの不等式間の補間
- Authors: Bowen Li, Jianfeng Lu
- Abstract要約: 量子ベックナーの不等式は、ソボレフ型不等式とポアンカーの不等式の間の補間関係を示す。
また、正の曲率は、輸送コストとポインカーの不等式が従う量子ベックナーの不等式を意味することも証明している。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 12.151998897427012
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: In this work, we define the quantum $p$-divergences and introduce the
Beckner's inequalities, for the primitive quantum Markov semigroup with
$\sigma$-detailed balance condition. Such inequalities quantify the convergence
of the quantum dynamics in terms of the noncommutative $L_p$-norm. We obtain a
number of implications between them and other quantum functional inequalities.
In particular, we show that the quantum Beckner's inequalities interpolate
between the Sobolev-type inequalities and the Poincar\'{e} inequality in a
sharp way. We provide a uniform lower bound for the Beckner constants
$\alpha_p$, and establish the stability of $\alpha_p$ with respect to the
invariant state. As applications of Beckner's inequalities, we derive an
improved bound for the mixing time. For the symmetric quantum Markov
semigroups, we obtain moment estimates, which further implies a concentration
inequality.
We introduce a new class of quantum transport distances $W_{2,p}$
interpolating the quantum Wasserstein distance by Carlen and Maas [J. Funct.
Anal. 273(5), 1810-1869 (2017)] and a noncommutative $\dot{H}^{-1}$ Sobolev
distance. We show that the quantum Markov semigroup with $\sigma$-detailed
balance is the gradient flow of the quantum $p$-divergence with respect to
these metrics. We prove that the set of quantum states equipped with $W_{2,p}$
is a complete geodesic space. We then consider the associated entropic Ricci
curvature lower bound via the geodesic convexity of $p$-divergences, and obtain
a HWI-type interpolation inequality. We also prove that the positive Ricci
curvature implies the quantum Beckner's inequality, from which the transport
cost and Poincar\'{e} inequalities can follow.
- Abstract（参考訳）: 本研究では、$\sigma$-detailed balance condition を持つ原始量子マルコフ半群に対して、量子 $p$-divergences を定義し、ベックナーの不等式を導入する。
そのような不等式は、非可換な$L_p$-ノルムの観点から量子力学の収束を定量化する。
我々はそれらと他の量子汎関数の不等式の間に多くの意味を持つ。
特に、量子ベックナーの不等式は、ソボレフ型不等式とポインカル・'{e}不等式を鋭い方法で補間することを示した。
ベックナー定数 $\alpha_p$ に対する一様下限を提供し、不変状態に関して$\alpha_p$ の安定性を確立する。
ベックナーの不等式の適用として、混合時間に対する改良された境界を導出する。
対称量子マルコフ半群について、モーメント推定を得るが、これはさらに濃度の不等式を意味する。
我々は,carlen と maas [j. funct. anal. 273(5), 1810-1869 (2017)] による量子ワッサースタイン距離を補間する新たな量子輸送距離 $w_{2,p}$ と非可換な $\dot{h}^{-1}$ sobolev 距離を導入する。
我々は、$\sigma$-detailed balance を持つ量子マルコフ半群が、これらの指標に対する量子の$p$-divergence の勾配フローであることを示す。
w_{2,p}$ を持つ量子状態の集合が完全な測地空間であることを証明する。
次に、対応するエントロピー的リッチ曲率の下界を$p$-ディバージェンスの測地的凸性により考慮し、HWI型補間不等式を得る。
また、正のリッチ曲率によって量子ベックナーの不等式が示され、そこから輸送コストとポインカーの不等式が従うことが証明される。
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