論文の概要: Complete entropic inequalities for quantum Markov chains

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2102.04146v3
• Date: Mon, 14 Jun 2021 20:00:12 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-04-12 05:36:46.006845
• Title: Complete entropic inequalities for quantum Markov chains
• Title（参考訳）: 量子マルコフ連鎖に対する完全エントロピー不等式
• Authors: Li Gao and Cambyse Rouz\'e
• Abstract要約: 有限次元代数上のすべての GNS-対称量子マルコフ半群が、修正対数ソボレフの不等式を満たすことを証明する。 また、相対エントロピーの最初の一般近似特性を確立する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 17.21921346541951
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We prove that every GNS-symmetric quantum Markov semigroup on a finite dimensional matrix algebra satisfies a modified log-Sobolev inequality. In the discrete time setting, we prove that every finite dimensional GNS-symmetric quantum channel satisfies a strong data processing inequality with respect to its decoherence free part. Moreover, we establish the first general approximate tensorization property of relative entropy. This extends the famous strong subadditivity of the quantum entropy (SSA) of two subsystems to the general setting of two subalgebras. All the three results are independent of the size of the environment and hence satisfy the tensorization property. They are obtained via a common, conceptually simple method for proving entropic inequalities via spectral or $L_2$-estimates. As applications, we combine our results on the modified log-Sobolev inequality and approximate tensorization to derive bounds for examples of both theoretical and practical relevance, including representation of sub-Laplacians on $\operatorname{SU}(2)$ and various classes of local quantum Markov semigroups such as quantum Kac generators and continuous time approximate unitary designs. For the latter, our bounds imply the existence of local continuous time Markovian evolutions on $nk$ qudits forming $\epsilon$-approximate $k$-designs in relative entropy for times scaling as $\widetilde{\mathcal{O}}(n^2 \operatorname{poly}(k))$.
• Abstract（参考訳）: 有限次元行列代数上のすべての GNS-対称量子マルコフ半群は、修正対数ソボレフの不等式を満たすことを証明する。 離散時間設定では、すべての有限次元GNS対称量子チャネルがそのデコヒーレンス自由部分に関して強いデータ処理の不等式を満たすことを証明している。 さらに、相対エントロピーの最初の一般近似テンソル化特性を確立する。 これにより、2つのサブシステムの量子エントロピー(SSA)の有名な強部分付加性が、2つのサブ代数の一般設定に拡張される。 3つの結果は環境の大きさとは独立であり、したがってテンソル化特性を満たす。 これらは、スペクトルまたは$l_2$-estimatesによるエントロピーの不等式を証明する共通の概念的に単純な方法によって得られる。 応用として、修正された対数ソボレフの不等式と近似テンソル化の結果を組み合わせて、$\operatorname{SU}(2)$上の部分ラプラシアンの表現や量子Kac生成器や連続時間近似ユニタリ設計のような局所量子マルコフ半群の様々なクラスを含む理論的および実践的関係の例を導出する。 後者の場合、我々の境界は、局所連続時間(英語版) (local continuous time) Markovian evolutions on $nk$ qudits formed $\epsilon$-approximate $k$-designs in relative entropy for times scale as $\widetilde{\mathcal{O}}(n^2 \operatorname{poly}(k))$であることを意味する。

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