論文の概要: Machine Learned Calabi-Yau Metrics and Curvature

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2211.09801v3
• Date: Tue, 6 Jun 2023 15:06:15 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-06-07 21:24:03.661749
• Title: Machine Learned Calabi-Yau Metrics and Curvature
• Title（参考訳）: 機械学習によるカラビヤウ計量と曲率
• Authors: Per Berglund, Giorgi Butbaia, Tristan H\"ubsch, Vishnu Jejjala, Dami\'an Mayorga Pe\~na, Challenger Mishra, Justin Tan
• Abstract要約: リッチ・フラット(カラビ・ヤウ)計量の発見は、弦理論や現象学に深い意味を持つ幾何学における長期的問題である。 この問題に対する新たな攻撃は、ニューラルネットワークを使用して、与えられたK"ahlerクラス内のカラビ・ヤウ計量への近似を工学する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Finding Ricci-flat (Calabi-Yau) metrics is a long standing problem in geometry with deep implications for string theory and phenomenology. A new attack on this problem uses neural networks to engineer approximations to the Calabi-Yau metric within a given K\"ahler class. In this paper we investigate numerical Ricci-flat metrics over smooth and singular K3 surfaces and Calabi-Yau threefolds. Using these Ricci-flat metric approximations for the Cefal\'u family of quartic twofolds and the Dwork family of quintic threefolds, we study characteristic forms on these geometries. We observe that the numerical stability of the numerically computed topological characteristic is heavily influenced by the choice of the neural network model, in particular, we briefly discuss a different neural network model, namely Spectral networks, which correctly approximate the topological characteristic of a Calabi-Yau. Using persistent homology, we show that high curvature regions of the manifolds form clusters near the singular points. For our neural network approximations, we observe a Bogomolov--Yau type inequality $3c_2 \geq c_1^2$ and observe an identity when our geometries have isolated $A_1$ type singularities. We sketch a proof that $\chi(X~\smallsetminus~\mathrm{Sing}\,{X}) + 2~|\mathrm{Sing}\,{X}| = 24$ also holds for our numerical approximations.
• Abstract（参考訳）: ricci-flat (calabi-yau)メトリクスを見つけることは、弦理論や現象論に深い意味を持つ幾何学における長い問題である。 この問題に対する新たな攻撃は、ニューラルネットワークを使用して、所定のK\"ahlerクラス内のCalabi-Yauメトリックへの近似を設計する。 本稿では, 滑らかかつ特異なK3面およびカラビ・ヤウ3次元上のリッチ平坦な数値測度について検討する。 これらのリッチ平坦な計量近似を用いて、四面体のCefal\'u族と四面体のDwork族を解析し、これらの幾何学上の特徴形式を研究する。 数値計算された位相特性の数値安定性はニューラルネットワークモデルの選択に大きく影響しており、特に、カルビヤウの位相特性を正確に近似するスペクトルネットワークモデルについて簡単に議論する。 永続ホモロジーを用いて、多様体の高曲率領域が特異点付近のクラスターを形成することを示す。 我々のニューラルネットワーク近似では、ボゴモロフ-ヤウ型不等式3c_2 \geq c_1^2$を観察し、我々のジオメトリが$A_1$型特異点を孤立させたときにアイデンティティを観察する。 我々は、$\chi(x~\smallsetminus~\mathrm{sing}\,{x}) + 2~|\mathrm{sing}\,{x}| = 24$ という証明をスケッチする。

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