論文の概要: Concentration Phenomenon for Random Dynamical Systems: An Operator
Theoretic Approach
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2212.03670v2
- Date: Tue, 30 May 2023 21:20:33 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-06-02 03:49:34.227500
- Title: Concentration Phenomenon for Random Dynamical Systems: An Operator
Theoretic Approach
- Title（参考訳）: ランダム力学系に対する濃度現象:作用素論的アプローチ
- Authors: Muhammad Abdullah Naeem and Miroslav Pajic
- Abstract要約: 本稿では, 所定の観測値に対する濃度現象を定式化する。
可観測関数/報酬関数が非有界であるとしても、ある意味では非有界であることが判明した。
for some $q>2$, $|er|_q.
濃度現象におけるエンプレバーシビリティの役割はデミスト化されている。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 10.051309746913512
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: Via operator theoretic methods, we formalize the concentration phenomenon for
a given observable `$r$' of a discrete time Markov chain with `$\mu_{\pi}$' as
invariant ergodic measure, possibly having support on an unbounded state space.
The main contribution of this paper is circumventing tedious probabilistic
methods with a study of a composition of the Markov transition operator $P$
followed by a multiplication operator defined by $e^{r}$. It turns out that
even if the observable/ reward function is unbounded, but for some for some
$q>2$, $\|e^{r}\|_{q \rightarrow 2} \propto \exp\big(\mu_{\pi}(r)
+\frac{2q}{q-2}\big) $ and $P$ is hyperbounded with norm control $\|P\|_{2
\rightarrow q }< e^{\frac{1}{2}[\frac{1}{2}-\frac{1}{q}]}$, sharp
non-asymptotic concentration bounds follow. \emph{Transport-entropy} inequality
ensures the aforementioned upper bound on multiplication operator for all
$q>2$. The role of \emph{reversibility} in concentration phenomenon is
demystified. These results are particularly useful for the reinforcement
learning and controls communities as they allow for concentration inequalities
w.r.t standard unbounded obersvables/reward functions where exact knowledge of
the system is not available, let alone the reversibility of stationary measure.
- Abstract（参考訳）: 作用素論的手法により、離散時間マルコフ連鎖の与えられた観測可能な `$r$' の濃度現象を「$\mu_{\pi}$' を不変エルゴード測度として定式化し、おそらく非有界状態空間への支持を持つ。
この論文の主な貢献は、マルコフ遷移作用素 $P$ の合成と、$e^{r}$ で定義される乗算作用素の研究によって、退屈な確率的方法を回避することである。
観測可能/報酬関数が非有界であるとしても、ある$q>2$, $\|e^{r}\|_{q \rightarrow 2} \propto \exp\big(\mu_{\pi}(r) +\frac{2q}{q-2}\big) $ and $P$ is hyperbounded with norm control $\|P\|_{2 \rightarrow q }< e^{\frac{1}{2}[\frac{1}{2}-\frac{1}{q}]} の場合、シャープな非漸近濃度境界は従う。
emph{transport-entropy} 不等式は、上述の乗算作用素上の上限をすべての$q>2$に対して保証する。
濃度現象における 'emph{reversibility} の役割は脱線化される。
これらの結果は、システムに関する正確な知識が得られていないような、集中不等式 w.r.t 標準の非有界オブザーバブル/逆関数を許容するコミュニティの強化学習や制御に特に有用である。
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