論文の概要: Partial Degeneration of Tensors

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2212.14095v2
• Date: Mon, 3 Jun 2024 08:29:48 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2024-06-04 23:45:37.321383
• Title: Partial Degeneration of Tensors
• Title（参考訳）: 腱の部分変性
• Authors: Matthias Christandl, Fulvio Gesmundo, Vladimir Lysikov, Vincent Steffan,
• Abstract要約: 局所線型写像の一方が定数である一方、他方は曲線に沿って変化する部分退化について検討する。 部分退化の存在は、テンソルの助けられたランクに強い上限を与えるので、退化を制約にすることができる。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.0369231476008116
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Tensors are often studied by introducing preorders such as restriction and degeneration: the former describes transformations of the tensors by local linear maps on its tensor factors; the latter describes transformations where the local linear maps may vary along a curve, and the resulting tensor is expressed as a limit along this curve. In this work we introduce and study partial degeneration, a special version of degeneration where one of the local linear maps is constant whereas the others vary along a curve. Motivated by algebraic complexity, quantum entanglement and tensor networks, we present constructions based on matrix multiplication tensors and find examples by making a connection to the theory of prehomogeneous tensor spaces. We highlight the subtleties of this new notion by showing obstruction and classification results for the unit tensor. To this end, we study the notion of aided rank, a natural generalization of tensor rank. The existence of partial degenerations gives strong upper bounds on the aided rank of a tensor, which allows one to turn degenerations into restrictions. In particular, we present several examples, based on the W-tensor and the Coppersmith-Winograd tensors, where lower bounds on aided rank provide obstructions to the existence of certain partial degenerations.
• Abstract（参考訳）: 前者はテンソル因子上の局所線型写像によるテンソルの変換を記述し、後者は局所線型写像が曲線に沿って変化する可能性のある変換を記述し、結果として生じるテンソルはこの曲線に沿って極限として表される。 本研究では,局所線型写像の1つが定数であるのに対して,他の1つが曲線に沿って変化する特別な縮退版である部分退化を導入,研究する。 代数的複雑性、量子エンタングルメント、テンソルネットワークによって動機付けられ、行列乗算テンソルに基づく構造を示し、前均質テンソル空間の理論に接続することで例を見つける。 我々は、単位テンソルの障害と分類結果を示すことによって、この新しい概念の微妙さを強調する。 この目的のために、テンソル階数の自然な一般化である補助階数の概念を研究する。 部分退化の存在は、テンソルの助けられたランクに強い上限を与えるので、退化を制約にすることができる。 特に、W-テンソルとCupersmith-Winogradテンソルに基づくいくつかの例を示す。

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