論文の概要: The joint node degree distribution in the Erd\H{o}s-R\'enyi network
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2303.05138v1
- Date: Thu, 9 Mar 2023 09:46:48 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-03-10 15:27:13.231091
- Title: The joint node degree distribution in the Erd\H{o}s-R\'enyi network
- Title（参考訳）: Erd\H{o}s-R\'enyi ネットワークにおける結合ノード次数分布
- Authors: Boshra Alarfaj, Charles Taylor and Leonid Bogachev
- Abstract要約: ErdHos-R'enyiランダムグラフはノード次数分布の最も単純なモデルである。
本稿では,ErdHos-R'enyiグラフのノードごとの次数が多変量正規分布 MVN であるかどうかを検証することを目的とする。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: The Erd\H{o}s-R\'enyi random graph is the simplest model for node degree
distribution, and it is one of the most widely studied. In this model, pairs of
$n$ vertices are selected and connected uniformly at random with probability
$p$, consequently, the degrees for a given vertex follow the binomial
distribution. If the number of vertices is large, the binomial can be
approximated by Normal using the Central Limit Theorem, which is often allowed
when $\min (np, n(1-p)) > 5$. This is true for every node independently.
However, due to the fact that the degrees of nodes in a graph are not
independent, we aim in this paper to test whether the degrees of per node
collectively in the Erd\H{o}s-R\'enyi graph have a multivariate normal
distribution MVN. A chi square goodness of fit test for the hypothesis that
binomial is a distribution for the whole set of nodes is rejected because of
the dependence between degrees. Before testing MVN we show that the covariance
and correlation between the degrees of any pair of nodes in the graph are
$p(1-p)$ and $1/(n-1)$, respectively. We test MVN considering two assumptions:
independent and dependent degrees, and we obtain our results based on the
percentages of rejected statistics of chi square, the $p$-values of Anderson
Darling test, and a CDF comparison. We always achieve a good fit of
multivariate normal distribution with large values of $n$ and $p$, and very
poor fit when $n$ or $p$ are very small. The approximation seems valid when $np
\geq 10$. We also compare the maximum likelihood estimate of $p$ in MVN
distribution where we assume independence and dependence. The estimators are
assessed using bias, variance and mean square error.
- Abstract（参考訳）: Erd\H{o}s-R\'enyiランダムグラフはノード次数分布の最も単純なモデルであり、最も広く研究されている1つである。
このモデルでは、$n$の頂点のペアが選択され、確率$p$でランダムに連結され、従って与えられた頂点の次数は二項分布に従う。
頂点の数が大きい場合、二項は中心極限定理を用いて正規に近似することができ、これは$\min (np, n(1-p)) > 5$ のときしばしば許される。
これは各ノードに独立して当てはまる。
しかし、グラフ内のノードの次数が独立でないという事実から、この論文では、Erd\H{o}s-R\'enyi グラフ内のノードごとの次数が多変量正規分布 MVN を持つかどうかをテストする。
次数間の依存性から、二項がノード全体の分布であるという仮説に対する適合性テストのチ方正方性は否定される。
MVNをテストする前に、グラフ内の任意の一対のノードの次数の共分散と相関は、それぞれ$p(1-p)$と$1/(n-1)$であることを示す。
我々は、独立度と依存度という2つの仮定を考慮しMVNを試験し、チリ正方形の棄却された統計率、アンダーソン・ダーリング試験の$p$値、CDF比較に基づいて結果を得る。
私たちは常に、$n$と$p$の大きな値を持つ多変量正規分布をうまく適合させ、$n$または$p$が非常に小さいときに非常に不適合である。
この近似は$np \geq 10$ の場合に有効である。
また、独立性と依存を仮定するMVN分布における最大推定値$p$の比較を行う。
推定値はバイアス、分散、平均二乗誤差を用いて評価される。
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