論文の概要: The G-invariant graph Laplacian

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2303.17001v4
• Date: Fri, 28 Jun 2024 13:40:00 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2024-07-01 22:23:58.593241
• Title: The G-invariant graph Laplacian
• Title（参考訳）: G-不変グラフラプラシアン
• Authors: Eitan Rosen, Paulina Hoyos, Xiuyuan Cheng, Joe Kileel, Yoel Shkolnisky,
• Abstract要約: 我々は、既知のユニタリリー群 G の作用の下で閉じた多様体上のデータポイントを持つデータセットを考える。 グラフラプラシアンは、データセット上のGの作用によって生成されるすべての点間の距離を組み込むことで構成する。 G-GL はデータ多様体上のラプラス・ベルトラミ作用素に収束するが、収束速度は大幅に改善される。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 12.676094208872842
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Graph Laplacian based algorithms for data lying on a manifold have been proven effective for tasks such as dimensionality reduction, clustering, and denoising. In this work, we consider data sets whose data points lie on a manifold that is closed under the action of a known unitary matrix Lie group G. We propose to construct the graph Laplacian by incorporating the distances between all the pairs of points generated by the action of G on the data set. We deem the latter construction the ``G-invariant Graph Laplacian'' (G-GL). We show that the G-GL converges to the Laplace-Beltrami operator on the data manifold, while enjoying a significantly improved convergence rate compared to the standard graph Laplacian which only utilizes the distances between the points in the given data set. Furthermore, we show that the G-GL admits a set of eigenfunctions that have the form of certain products between the group elements and eigenvectors of certain matrices, which can be estimated from the data efficiently using FFT-type algorithms. We demonstrate our construction and its advantages on the problem of filtering data on a noisy manifold closed under the action of the special unitary group SU(2).
• Abstract（参考訳）: グラフラプラシアンに基づく多様体上のデータに対するアルゴリズムは、次元減少、クラスタリング、デノナイジングといったタスクに有効であることが証明されている。 本稿では、既知のユニタリ行列リー群 G の作用の下で閉じた多様体上のデータ点を持つデータセットについて考察する。 後者の構成は ``G-不変グラフラプラシアン' (G-GL) とみなす。 G-GL はデータ多様体上のラプラス・ベルトラミ作用素に収束するが、与えられたデータセットの点間距離のみを利用する標準グラフラプラシアンの収束速度は大幅に向上する。 さらに、G-GLは、FFT型アルゴリズムを用いて効率的にデータから推定できる、群要素とある種の行列の固有ベクトルの間の特定の積の形式を持つ固有関数の集合を許容することを示した。 特殊ユニタリ群 SU(2) の作用の下で閉じたノイジー多様体上のデータをフィルタリングする問題に対する我々の構成とその利点を実証する。

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