論文の概要: Differential geometry with extreme eigenvalues in the positive semidefinite cone

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2304.07347v2
• Date: Thu, 8 Feb 2024 12:29:42 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2024-02-09 19:46:13.396392
• Title: Differential geometry with extreme eigenvalues in the positive semidefinite cone
• Title（参考訳）: 正半定円錐における極値を持つ微分幾何学
• Authors: Cyrus Mostajeran, Natha\"el Da Costa, Graham Van Goffrier, Rodolphe Sepulchre
• Abstract要約: 本稿では,超一般化固有値の効率に基づくSPD値データの解析と処理のためのスケーラブルな幾何学的枠組みを提案する。 我々は、この幾何学に基づいて、SPD行列の新たな反復平均を定義し、与えられた有限個の点の集合に対するその存在と特異性を証明する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.9116784879310025
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Differential geometric approaches to the analysis and processing of data in the form of symmetric positive definite (SPD) matrices have had notable successful applications to numerous fields including computer vision, medical imaging, and machine learning. The dominant geometric paradigm for such applications has consisted of a few Riemannian geometries associated with spectral computations that are costly at high scale and in high dimensions. We present a route to a scalable geometric framework for the analysis and processing of SPD-valued data based on the efficient computation of extreme generalized eigenvalues through the Hilbert and Thompson geometries of the semidefinite cone. We explore a particular geodesic space structure based on Thompson geometry in detail and establish several properties associated with this structure. Furthermore, we define a novel iterative mean of SPD matrices based on this geometry and prove its existence and uniqueness for a given finite collection of points. Finally, we state and prove a number of desirable properties that are satisfied by this mean.
• Abstract（参考訳）: 対称正定値行列(SPD)の形でのデータの解析と処理に対する異なる幾何学的アプローチは、コンピュータビジョン、医用画像、機械学習を含む多くの分野に顕著な成功を収めた。 そのような応用における支配的な幾何学的パラダイムは、高スケールおよび高次元でコストがかかるスペクトル計算に付随するいくつかのリーマン幾何学から成り立っている。 本研究では,半定円錐のヒルベルト・トンプソン測地による超一般化固有値の効率的な計算に基づくSPD値データの解析と処理のためのスケーラブルな幾何学的枠組みを提案する。 トンプソン幾何学に基づく特定の測地空間構造を詳細に探求し、この構造に関連するいくつかの性質を確立する。 さらに、この幾何に基づいてSPD行列の新たな反復平均を定義し、与えられた有限個の点の集合に対するその存在と特異性を証明する。 最後に、この平均で満足できる多くの望ましい性質を述べ、証明します。

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