論文の概要: Effective resistance in metric spaces

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2306.15649v1
• Date: Tue, 27 Jun 2023 17:43:18 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-06-28 12:23:10.022344
• Title: Effective resistance in metric spaces
• Title（参考訳）: 距離空間における有効抵抗
• Authors: Robi Bhattacharjee, Alexander Cloninger, Yoav Freund, Andreas Oslandsbotn
• Abstract要約: 有効抵抗(ER)はグラフの構造を問う魅力的な方法である。 サンプルのサイズが無限大になるにつれて、任意の2点間のERが自明な量に収束することを示す。 領域を固定し続けることにより、点数が無限大になるにつれて、領域ベースのERが非自明な極限に収束することを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 65.94598202303497
• License: http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/
• Abstract: Effective resistance (ER) is an attractive way to interrogate the structure of graphs. It is an alternative to computing the eigenvectors of the graph Laplacian. One attractive application of ER is to point clouds, i.e. graphs whose vertices correspond to IID samples from a distribution over a metric space. Unfortunately, it was shown that the ER between any two points converges to a trivial quantity that holds no information about the graph's structure as the size of the sample increases to infinity. In this study, we show that this trivial solution can be circumvented by considering a region-based ER between pairs of small regions rather than pairs of points and by scaling the edge weights appropriately with respect to the underlying density in each region. By keeping the regions fixed, we show analytically that the region-based ER converges to a non-trivial limit as the number of points increases to infinity. Namely the ER on a metric space. We support our theoretical findings with numerical experiments.
• Abstract（参考訳）: 有効抵抗(ER)はグラフの構造を問う魅力的な方法である。 これはグラフラプラシアンの固有ベクトルを計算するに代わるものである。 ERの魅力的な応用の1つは、頂点が計量空間上の分布からのIDサンプルに対応するグラフを点雲に向けることである。 残念なことに、任意の2点間のerは、サンプルのサイズが無限大になるにつれてグラフの構造に関する情報を持たない自明な量に収束する。 本研究では,一対の点ではなく,一対の小さな領域間の領域ベースERを考慮し,各領域の基底密度に対して適切なエッジ重みを拡大することにより,この自明な解を回避することができることを示す。 領域を固定し続けることにより、点数が無限大になるにつれて、領域ベースのERが非自明な極限に収束することを示す。 すなわち、計量空間上の ER である。 我々は数値実験で理論的な結果を支持する。

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