論文の概要: Degree Heterogeneity in Higher-Order Networks: Inference in the
Hypergraph $\boldsymbol{\beta}$-Model
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2307.02818v1
- Date: Thu, 6 Jul 2023 07:23:06 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-07-07 14:53:51.777375
- Title: Degree Heterogeneity in Higher-Order Networks: Inference in the
Hypergraph $\boldsymbol{\beta}$-Model
- Title（参考訳）: 高次ネットワークにおけるDegree Heterogeneity: Inference in the Hypergraph $\boldsymbol{\beta}$-Model
- Authors: Sagnik Nandy and Bhaswar B. Bhattacharya
- Abstract要約: 複数層からなるハイパーグラフ $boldsymbolbeta$-model について検討した。
最大極大推定値(ML)の収束率を導出し,その最小値の最適性を確立する。
また、ハイパーグラフ $boldsymbolbeta$-model における適合性の問題についても考察する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 5.8010446129208155
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: The $\boldsymbol{\beta}$-model for random graphs is commonly used for
representing pairwise interactions in a network with degree heterogeneity.
Going beyond pairwise interactions, Stasi et al. (2014) introduced the
hypergraph $\boldsymbol{\beta}$-model for capturing degree heterogeneity in
networks with higher-order (multi-way) interactions. In this paper we initiate
the rigorous study of the hypergraph $\boldsymbol{\beta}$-model with multiple
layers, which allows for hyperedges of different sizes across the layers. To
begin with, we derive the rates of convergence of the maximum likelihood (ML)
estimate and establish their minimax rate optimality. We also derive the
limiting distribution of the ML estimate and construct asymptotically valid
confidence intervals for the model parameters. Next, we consider the
goodness-of-fit problem in the hypergraph $\boldsymbol{\beta}$-model.
Specifically, we establish the asymptotic normality of the likelihood ratio
(LR) test under the null hypothesis, derive its detection threshold, and also
its limiting power at the threshold. Interestingly, the detection threshold of
the LR test turns out to be minimax optimal, that is, all tests are
asymptotically powerless below this threshold. The theoretical results are
further validated in numerical experiments. In addition to developing the
theoretical framework for estimation and inference for hypergraph
$\boldsymbol{\beta}$-models, the above results fill a number of gaps in the
graph $\boldsymbol{\beta}$-model literature, such as the minimax optimality of
the ML estimates and the non-null properties of the LR test, which, to the best
of our knowledge, have not been studied before.
- Abstract（参考訳）: ランダムグラフに対する$\boldsymbol{\beta}$-model は、次数の不均質なネットワーク内の対関係を表現するのによく用いられる。
stasi et al. (2014) は双対相互作用を超えて、高次(多方向)相互作用を持つネットワークの次数の不均一性を捉えるハイパーグラフ $\boldsymbol{\beta}$-モデルを導入した。
本稿では,複数の層を持つハイパーグラフ $\boldsymbol{\beta}$-model の厳密な研究を開始する。
まず,最大確率(ml)推定値の収束率を導出し,最小速度の最適性を確立する。
また,ML推定の限界分布を導出し,モデルパラメータに対する漸近的に有効な信頼区間を構築する。
次に、hypergraph $\boldsymbol{\beta}$-modelにおける適合性の問題を考察する。
具体的には,ヌル仮説の下での度数比(lr)検定の漸近正規性を確立し,その検出しきい値と閾値での制限パワーを導出する。
興味深いことに、LRテストの検出しきい値はこのしきい値以下で漸近的に無力である、最小限の最適値であることが判明した。
理論的結果は数値実験でさらに検証される。
ハイパーグラフ$\boldsymbol{\beta}$-モデルの推定と推論のための理論的フレームワークの開発に加えて、上記の結果は、ml推定の最小最適性やlrテストの非null性など、グラフ$\boldsymbol{\beta}$-モデル文献の多くのギャップを埋めている。
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