論文の概要: Quantum Complexity for Discrete Logarithms and Related Problems
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2307.03065v2
- Date: Tue, 22 Oct 2024 05:11:09 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2024-10-23 14:25:36.396467
- Title: Quantum Complexity for Discrete Logarithms and Related Problems
- Title（参考訳）: 離散対数に対する量子複雑性とその関連問題
- Authors: Minki Hhan, Takashi Yamakawa, Aaram Yun,
- Abstract要約: 我々は、群理論問題に対する量子計算の一般モデルを構築し、これを量子ジェネリックグループモデルと呼ぶ。
このモデルでは、量子複雑性の低い境界と、DLのほぼ一致するアルゴリズムと関連する問題を示す。
Shorのアルゴリズムのバリエーションは、量子群演算の数を減らすために古典的な計算を利用することができる。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 7.077306859247421
- License:
- Abstract: This paper studies the quantum computational complexity of the discrete logarithm (DL) and related group-theoretic problems in the context of generic algorithms -- that is, algorithms that do not exploit any properties of the group encoding. We establish a generic model of quantum computation for group-theoretic problems, which we call the quantum generic group model. Shor's algorithm for the DL problem and related algorithms can be described in this model. We show the quantum complexity lower bounds and almost matching algorithms of the DL and related problems in this model. More precisely, we prove the following results for a cyclic group $G$ of prime order. - Any generic quantum DL algorithm must make $\Omega(\log |G|)$ depth of group operations. This shows that Shor's algorithm is asymptotically optimal among the generic quantum algorithms, even considering parallel algorithms. - We observe that variations of Shor's algorithm can take advantage of classical computations to reduce the number of quantum group operations. We introduce a model for generic hybrid quantum-classical algorithms and show that these algorithms are almost optimal in this model. Any generic hybrid algorithm for the DL problem with a total number of group operations $Q$ must make $\Omega(\log |G|/\log Q)$ quantum group operations of depth $\Omega(\log\log |G| - \log\log Q)$. - When the quantum memory can only store $t$ group elements and use quantum random access memory of $r$ group elements, any generic hybrid algorithm must make either $\Omega(\sqrt{|G|})$ group operations in total or $\Omega(\log |G|/\log (tr))$ quantum group operations. As a side contribution, we show a multiple DL problem admits a better algorithm than solving each instance one by one, refuting a strong form of the quantum annoying property suggested in the context of password-authenticated key exchange protocol.
- Abstract（参考訳）: 本稿では、離散対数(DL)の量子計算複雑性と、一般アルゴリズムの文脈における関連する群論的問題、すなわち、群エンコーディングのいかなる性質も利用しないアルゴリズムについて研究する。
我々は、群理論問題に対する量子計算の一般モデルを構築し、これを量子ジェネリックグループモデルと呼ぶ。
DL問題と関連するアルゴリズムに対するショアのアルゴリズムは、このモデルで説明できる。
このモデルでは、量子複雑性の低い境界と、DLのほぼ一致するアルゴリズムと関連する問題を示す。
より正確には、巡回群 $G$ of prime order に対して以下の結果が証明される。
-任意の一般的な量子DLアルゴリズムは、群演算の深さを$\Omega(\log |G|)$にしなければならない。
このことは、Shorのアルゴリズムが並列アルゴリズムを考慮しても、一般的な量子アルゴリズムの中で漸近的に最適であることを示している。
-Shorのアルゴリズムのバリエーションは古典的な計算を利用して量子群演算の回数を減らすことができる。
汎用的なハイブリッド量子古典アルゴリズムのモデルを導入し、これらのアルゴリズムがこのモデルでほぼ最適であることを示す。
DL問題に対する総群演算数$Q$は、深さ$\Omega(\log |G|/\log Q)$の量子群演算を$\Omega(\log |G| - \log\log Q)$とする。
- 量子メモリが$t$グループ要素のみを格納し、$r$グループ要素の量子ランダムアクセスメモリを使用する場合、任意の一般的なハイブリッドアルゴリズムは、合計$\Omega(\sqrt{|G|})$グループ演算または$\Omega(\log |G|/\log (tr))$量子群演算をしなければならない。
副次的貢献として、パスワード認証鍵交換プロトコルの文脈で提案される量子イライラ特性の強い形に反論し、各インスタンスを1つずつ解決するよりも優れたアルゴリズムを許容する複数のDL問題を示す。
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