論文の概要: Principal subbundles for dimension reduction

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2307.03128v1
• Date: Thu, 6 Jul 2023 16:55:21 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-07-07 13:16:20.004505
• Title: Principal subbundles for dimension reduction
• Title（参考訳）: 次元減少のための主サブバンドル
• Authors: Morten Akh{\o}j, James Benn, Erlend Grong, Stefan Sommer, Xavier Pennec
• Abstract要約: 我々は、多様体学習や曲面再構成にサブリーマン幾何学をどのように利用できるかを示す。 ノイズの多いデータに適用すると,フレームワークが堅牢であることを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.07515511160657122
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: In this paper we demonstrate how sub-Riemannian geometry can be used for manifold learning and surface reconstruction by combining local linear approximations of a point cloud to obtain lower dimensional bundles. Local approximations obtained by local PCAs are collected into a rank $k$ tangent subbundle on $\mathbb{R}^d$, $k<d$, which we call a principal subbundle. This determines a sub-Riemannian metric on $\mathbb{R}^d$. We show that sub-Riemannian geodesics with respect to this metric can successfully be applied to a number of important problems, such as: explicit construction of an approximating submanifold $M$, construction of a representation of the point-cloud in $\mathbb{R}^k$, and computation of distances between observations, taking the learned geometry into account. The reconstruction is guaranteed to equal the true submanifold in the limit case where tangent spaces are estimated exactly. Via simulations, we show that the framework is robust when applied to noisy data. Furthermore, the framework generalizes to observations on an a priori known Riemannian manifold.
• Abstract（参考訳）: 本稿では, 点雲の局所線型近似を組み合わせて低次元束を得ることにより, 多様体学習と表面再構成にサブリーマン幾何学をどのように利用できるかを示す。 局所的pcasによって得られる局所近似は、主部分バンドル ( principal subbundle) と呼ばれる$\mathbb{r}^d$, $k<d$ 上の接部分バンドル (tangent subbundle) に集められる。 これは$\mathbb{R}^d$ 上の部分リーマン計量を決定する。 この距離に関する準リーマン測地学は、近似部分多様体 $m$ の明示的な構成、\mathbb{r}^k$ における点クラウドの表現の構成、観測間の距離の計算、学習された幾何学を考慮に入れるなど、いくつかの重要な問題にうまく適用できることが示されている。 再構成は、接空間を正確に推定する極限の場合の真の部分多様体に等しいことが保証される。 シミュレーションにより,ノイズの多いデータに適用した場合,フレームワークが堅牢であることを示す。 さらに、このフレームワークは、既知リーマン多様体上の観測に一般化される。

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