論文の概要: Fat Shattering, Joint Measurability, and PAC Learnability of POVM Hypothesis Classes

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2308.12304v1
• Date: Mon, 21 Aug 2023 18:38:24 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-08-25 16:59:00.447937
• Title: Fat Shattering, Joint Measurability, and PAC Learnability of POVM Hypothesis Classes
• Title（参考訳）: POVM仮説クラスの脂肪破砕, 共同測定性およびPAC学習性
• Authors: Abram Magner and Arun Padakandla
• Abstract要約: 我々は、PAC学習性に必要な条件と十分な条件を整合させることにより、量子測定クラスの学習可能性を特徴づける。 有限次元POVMクラスであっても、前処理におけるVC次元の一般化上界は、しばしば無限大であることが示される。 有限次元ヒルベルト空間上で定義されるすべての測定クラスがPAC学習可能であることを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 8.594140167290098
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: We characterize learnability for quantum measurement classes by establishing matching necessary and sufficient conditions for their PAC learnability, along with corresponding sample complexity bounds, in the setting where the learner is given access only to prepared quantum states. We first probe the results from previous works on this setting. We show that the empirical risk defined in previous works and matching the definition in the classical theory fails to satisfy the uniform convergence property enjoyed in the classical setting for some learnable classes. Moreover, we show that VC dimension generalization upper bounds in previous work are frequently infinite, even for finite-dimensional POVM classes. To surmount the failure of the standard ERM to satisfy uniform convergence, we define a new learning rule -- denoised ERM. We show this to be a universal learning rule for POVM and probabilistically observed concept classes, and the condition for it to satisfy uniform convergence is finite fat shattering dimension of the class. We give quantitative sample complexity upper and lower bounds for learnability in terms of finite fat-shattering dimension and a notion of approximate finite partitionability into approximately jointly measurable subsets, which allow for sample reuse. We then show that finite fat shattering dimension implies finite coverability by approximately jointly measurable subsets, leading to our matching conditions. We also show that every measurement class defined on a finite-dimensional Hilbert space is PAC learnable. We illustrate our results on several example POVM classes.
• Abstract（参考訳）: 学習者が準備された量子状態のみにアクセスできる設定において,pac学習可能性に必要な十分条件と対応するサンプル複雑性境界を定式化することにより,量子測定クラスの学習可能性を特徴付ける。 私たちはまず、この設定に関する以前の研究の結果を調査します。 従来の研究で定義された経験的リスクと古典理論の定義との整合性は古典的なクラスで得られる一様収束性を満たすことができないことを示す。 さらに, 有限次元POVMクラスにおいても, 先行研究におけるVC次元一般化上界は無限大であることを示す。 標準ermの失敗を克服して一様収束を満たすために、新しい学習規則を定式化したermを定義する。 このことはPOVMと確率的に観察された概念クラスに対する普遍的な学習規則であり、一様収束を満たす条件はクラスの有限脂肪破砕次元である。 有限な脂肪分散次元と近似有限分割可能性の概念を用いて, 学習可能性の上限の上・下限を定量的に計算し, サンプル再利用を可能にした。 次に, 有限脂肪破砕次元は, ほぼ同時測定可能な部分集合による有限被覆性を示し, マッチング条件を導出することを示した。 また、有限次元ヒルベルト空間上で定義されるすべての測定クラスがPAC学習可能であることを示す。 結果はいくつかのPOVMクラスで説明します。

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