論文の概要: Efficient Quantum Algorithm for All Quantum Wavelet Transforms
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2309.09350v1
- Date: Sun, 17 Sep 2023 19:02:08 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-09-19 16:03:18.595097
- Title: Efficient Quantum Algorithm for All Quantum Wavelet Transforms
- Title（参考訳）: 全量子ウェーブレット変換のための効率的な量子アルゴリズム
- Authors: Mohsen Bagherimehrab and Alan Aspuru-Guzik
- Abstract要約: 我々は,量子コンピュータ上で任意のウェーブレット変換を実行するための,単純かつ効率的な量子アルゴリズムを開発した。
提案した量子ウェーブレット変換は、確立された量子フーリエ変換と同様の方法で量子計算アルゴリズムで利用することができる。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.1059549433601104
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: Wavelet transforms are widely used in various fields of science and
engineering as a mathematical tool with features that reveal information
ignored by the Fourier transform. Unlike the Fourier transform, which is
unique, a wavelet transform is specified by a sequence of numbers associated
with the type of wavelet used and an order parameter specifying the length of
the sequence. While the quantum Fourier transform, a quantum analog of the
classical Fourier transform, has been pivotal in quantum computing, prior works
on quantum wavelet transforms (QWTs) were limited to the second and fourth
order of a particular wavelet, the Daubechies wavelet. Here we develop a simple
yet efficient quantum algorithm for executing any wavelet transform on a
quantum computer. Our approach is to decompose the kernel matrix of a wavelet
transform as a linear combination of unitaries (LCU) that are compilable by
easy-to-implement modular quantum arithmetic operations and use the LCU
technique to construct a probabilistic procedure to implement a QWT with a
\textit{known} success probability. We then use properties of wavelets to make
this approach deterministic by a single execution of the amplitude
amplification strategy. We extend our approach to a multilevel wavelet
transform and a generalized version, the packet wavelet transform, establishing
computational complexities in terms of three parameters: the wavelet order $M$,
the dimension $N$ of the transformation matrix, and the transformation level
$d$. We show the cost is logarithmic in $N$, linear in $d$ and quasilinear in
$M$. Our proposed quantum wavelet transforms could be used in quantum computing
algorithms in a similar manner to their well-established counterpart, the
quantum Fourier transform.
- Abstract（参考訳）: ウェーブレット変換は、フーリエ変換によって無視される情報を特徴付ける数学的ツールとして、科学や工学の様々な分野で広く使われている。
ユニークなフーリエ変換とは異なり、ウェーブレット変換は使用するウェーブレットの種類とシーケンスの長さを指定する順序パラメータに関連付けられた数列によって指定される。
古典的フーリエ変換の量子アナログである量子フーリエ変換は量子コンピューティングにおいて中心的な役割を担っているが、量子ウェーブレット変換(QWT)に関する以前の研究は特定のウェーブレットの2階と4階に限られていた。
ここでは,量子コンピュータ上で任意のウェーブレット変換を実行するための,単純かつ効率的な量子アルゴリズムを開発した。
本手法は,実装が容易なモジュラー量子算術演算により計算可能なユニタリ (lcu) の線形結合としてウェーブレット変換のカーネル行列を分解し,lcu法を用いて確率的手順を構築し,qwt を \textit{known} 成功確率で実装する。
次に、振幅増幅戦略の単一実行により、ウェーブレットの特性を用いてこのアプローチを決定的とする。
我々は、多レベルウェーブレット変換と一般化バージョンであるパケットウェーブレット変換にアプローチを拡張し、ウェーブレット順序$m$、変換行列の次元$n$、変換レベル$d$という3つのパラメータで計算の複雑さを確立する。
コストは$N$で対数、$d$で線形、$M$で準線形であることを示す。
提案した量子ウェーブレット変換は、確立された量子フーリエ変換と同様の方法で量子計算アルゴリズムで利用することができる。
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