論文の概要: Geodesics for mixed quantum states via their geometric mean operator
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2404.04136v1
- Date: Fri, 5 Apr 2024 14:36:11 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2024-04-08 15:45:42.562255
- Title: Geodesics for mixed quantum states via their geometric mean operator
- Title（参考訳）: 幾何平均作用素による混合量子状態の測地学
- Authors: Paul M. Alsing, Carlo Cafaro, Shannon Ray,
- Abstract要約: 任意の次元の2つの混合状態間の測地を平均作用素を用いて検討する。
中間混合量子状態 $rho(s)$ をアフィンによってパラメータ化された基底空間測地線に沿って構成するのにどのように使用できるかを示す。
任意の次元における極大混合状態と純状態の間の測地学の例と、ヴェルナー状態 $rho(p) = (1-p) I/N + p,|Psiranglelangle Psi|$ と $|Psir の間の測地学の例を示す。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/
- Abstract: We examine the geodesic between two mixed states of arbitrary dimension by means of their geometric mean operator. We utilize the fiber bundle approach by which the distance between two mixed state density operators $\rho_1$ and $\rho_2$ in the base space $M$ is given by the shortest distance in the (Hilbert Schmidt) bundle space $E$ of their purifications. The latter is well-known to be given by the Bures distance along the horizontal lift in $E$ of the geodesic between the $\rho_1$ and $\rho_2$ in $M$. The horizontal lift is that unique curve in $E$ that orthogonally traverses the fibers $F\subset E$ above the curve in $M$, and projects down onto it. We briefly review this formalism and show how it can be used to construct the intermediate mixed quantum states $\rho(s)$ along the base space geodesic parameterized by affine parameter $s$ between the initial $\rho_1$ and final $\rho_2$ states. We emphasize the role played by geometric mean operator $M(s) = \rho_1^{-1/2}\, \sqrt{\rho_1^{1/2}\rho(s)\rho_1^{1/2}}\,\rho_1^{-1/2}$, where the Uhlmann root fidelity between $\rho_1$ and $\rho(s)$ is given by $\sqrt{F}(\rho_1,\rho(s)) = Tr[M(s)\,\rho_1] = Tr[\sqrt{\rho_1^{1/2}\rho(s)\rho_1^{1/2}}]$, and $\rho(s) = M(s)\,\rho_1\,M(s)$. We give examples for the geodesic between the maximally mixed state and a pure state in arbitrary dimensions, as well as for the geodesic between Werner states $\rho(p) = (1-p) I/N + p\,|\Psi\rangle\langle \Psi|$ with $|\Psi\rangle = \{|GHZ\rangle, |W\rangle\}$ in dimension $N=2^3$. For the latter, we compare expressions in the limit $p\to1$ to the infinite number of possible geodesics between the orthogonal pure states $|GHZ\rangle$ and $|W\rangle$. Lastly, we compute the analytic form for the density matrices along the geodesic that connects two arbitrary endpoint qubit density matrices within the Bloch ball for dimension $N=2$.
- Abstract（参考訳）: 任意の次元の2つの混合状態間の測地を、その幾何学的平均作用素を用いて検討する。
2つの混合状態密度作用素$\rho_1$と$\rho_2$の基底空間における距離$M$は、(ヒルベルト・シュミット)バンドル空間$E$の最短距離によって与えられる。
後者は、水平リフトに沿ったバーズ距離によって、$\rho_1$ と $\rho_2$ の間の測地線の$E$ で与えられることが知られている。
水平リフトは、$E$のユニークな曲線で、ファイバーを直交する$F\subset E$が$M$の曲線より上を横切り、それに射影する。
この形式を概観し、初期$\rho_1$と最終$\rho_2$状態の間のアフィンパラメータ$s$でパラメータ化された基底空間測地線に沿って、中間混合量子状態$\rho(s)$を構築するためにどのように使用できるかを示す。
幾何平均作用素 $M(s) = \rho_1^{-1/2}\, \sqrt{\rho_1^{1/2}\rho(s)\rho_1^{1/2}}\,\rho_1^{-1/2}$, ここで、Uhlmannの根の忠実さは$\rho_1$と$\rho(s)$で、$\sqrt{F}(\rho_1,\rho(s)) = Tr[M(s)\,\rho_1] = Tr[\sqrt{\rho_1^{1/2}\rho(s)\,\rho_1^{1/2}}]$,$\rho(s)$で与えられる。
任意の次元における極大混合状態と純状態の間の測地線と、ヴェルナー状態の測地線について、$\rho(p) = (1-p) I/N + p\,|\Psi\rangle\langle \Psi|$ with $|\Psi\rangle = \{|GHZ\rangle, |W\rangle\}$ in dimension $N=2^3$。
後者については、極限$p\to1$の式を、直交純状態 $|GHZ\rangle$ と $|W\rangle$ の可能な測地線の無限個の数と比較する。
最後に、ブロッホ球内の2つの任意の終端量子密度行列を次元$N=2$で接続する測地線に沿った密度行列の解析形式を計算する。
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