論文の概要: Invariant kernels on Riemannian symmetric spaces: a harmonic-analytic approach

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2310.19270v2
• Date: Fri, 6 Sep 2024 05:45:42 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2024-09-09 20:53:23.509286
• Title: Invariant kernels on Riemannian symmetric spaces: a harmonic-analytic approach
• Title（参考訳）: リーマン対称空間上の不変核:調和解析的アプローチ
• Authors: Nathael Da Costa, Cyrus Mostajeran, Juan-Pablo Ortega, Salem Said,
• Abstract要約: この研究は、古典ガウス核が非ユークリッド対称空間上で定義されるとき、パラメータの選択に対して正定でないことを証明することを目的としている。 新しい結果は、対称空間上の不変核の研究の青写真を作った。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 6.5497574505866885
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: This work aims to prove that the classical Gaussian kernel, when defined on a non-Euclidean symmetric space, is never positive-definite for any choice of parameter. To achieve this goal, the paper develops new geometric and analytical arguments. These provide a rigorous characterization of the positive-definiteness of the Gaussian kernel, which is complete but for a limited number of scenarios in low dimensions that are treated by numerical computations. Chief among these results are the L$^{\!\scriptscriptstyle p}$-$\hspace{0.02cm}$Godement theorems (where $p = 1,2$), which provide verifiable necessary and sufficient conditions for a kernel defined on a symmetric space of non-compact type to be positive-definite. A celebrated theorem, sometimes called the Bochner-Godement theorem, already gives such conditions and is far more general in its scope, but is especially hard to apply. Beyond the connection with the Gaussian kernel, the new results in this work lay out a blueprint for the study of invariant kernels on symmetric spaces, bringing forth specific harmonic analysis tools that suggest many future applications.
• Abstract（参考訳）: この研究は、古典ガウス核が非ユークリッド対称空間上で定義されるとき、パラメータの選択に対して正定でないことを証明することを目的としている。 この目的を達成するために,新しい幾何学的および解析的議論を考案した。 これらはガウス核の正定値の厳密な特徴づけであり、これは完備だが、数値計算によって扱われる低次元のシナリオは限られている。 主な成果はL$^{\! p}$-$\hspace{0.02cm}$Godement theorems (ここで$p = 1,2$) は、非コンパクト型の対称空間上で定義されるカーネルが正定値となるために必要な十分条件を提供する。 ボヒナー・ゴデメントの定理(Bochner-Godement theorem)と呼ばれる有名な定理は、既にそのような条件を与えており、その範囲においてはるかに一般的なものであるが、特に適用は困難である。 ガウス核との接続を超えて、この研究の新しい結果は対称空間上の不変核の研究の青写真を作成し、将来の多くの応用を示唆する特定の調和解析ツールを生み出した。

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