論文の概要: Persistent homology for high-dimensional data based on spectral methods

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2311.03087v1
• Date: Mon, 6 Nov 2023 13:18:08 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-11-07 14:27:02.478796
• Title: Persistent homology for high-dimensional data based on spectral methods
• Title（参考訳）: スペクトル法に基づく高次元データの持続的ホモロジー
• Authors: Sebastian Damrich, Philipp Berens, Dmitry Kobak
• Abstract要約: バニラの持続的ホモロジーはノイズに非常に敏感になり、正確なトポロジーを検出できないことを示す。 k$-nearest-neighborグラフ上のスペクトル距離は、高次元ノイズの存在下でも、永続ホモロジーが正しいトポロジーを検出できることを示している。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 18.63671450223062
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Persistent homology is a popular computational tool for detecting non-trivial topology of point clouds, such as the presence of loops or voids. However, many real-world datasets with low intrinsic dimensionality reside in an ambient space of much higher dimensionality. We show that in this case vanilla persistent homology becomes very sensitive to noise and fails to detect the correct topology. The same holds true for most existing refinements of persistent homology. As a remedy, we find that spectral distances on the $k$-nearest-neighbor graph of the data, such as diffusion distance and effective resistance, allow persistent homology to detect the correct topology even in the presence of high-dimensional noise. Furthermore, we derive a novel closed-form expression for effective resistance in terms of the eigendecomposition of the graph Laplacian, and describe its relation to diffusion distances. Finally, we apply these methods to several high-dimensional single-cell RNA-sequencing datasets and show that spectral distances on the $k$-nearest-neighbor graph allow robust detection of cell cycle loops.
• Abstract（参考訳）: 永続ホモロジー(persistent homology)は、ループやボイドの存在など点雲の非自明なトポロジーを検出する一般的な計算ツールである。 しかし、内在次元が低い実世界の多くのデータセットは、より高次元の周囲空間に存在する。 この場合、バニラの持続的ホモロジーはノイズに非常に敏感になり、正確なトポロジーを検出できないことを示す。 同じことが、永続ホモロジーの既存のほとんどの改良にも当てはまる。 対策として,拡散距離や有効抵抗といったデータの$k$-nearest-neighborグラフ上のスペクトル距離は,高次元ノイズの存在下においても,持続的ホモロジーが正しいトポロジーを検出できることを示す。 さらに, グラフラプラシアンの固有分解の観点から, 有効抵抗に対する新しい閉形式式を導出し, その拡散距離との関係を記述した。 最後に、これらの手法を高次元単細胞RNAシークエンシングデータセットに適用し、$k$-nearest-neighborグラフ上のスペクトル距離がセルサイクルループの堅牢な検出を可能にすることを示す。

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