論文の概要: Non-isotropic Persistent Homology: Leveraging the Metric Dependency of PH

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2310.16437v1
• Date: Wed, 25 Oct 2023 08:03:17 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-10-26 16:08:02.081160
• Title: Non-isotropic Persistent Homology: Leveraging the Metric Dependency of PH
• Title（参考訳）: 非等方性持続ホモロジー:phの計量依存性を活用する
• Authors: Vincent P. Grande and Michael T. Schaub
• Abstract要約: 連続ホモロジーを単一距離関数に制限する場合、点雲の情報が失われることを示す。 非等方的永続ホモロジーは、ランダムに生成された点雲の向き、向きのばらつき、スケーリングに関する情報を抽出できることを数値的に示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 5.70896453969985
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Persistent Homology is a widely used topological data analysis tool that creates a concise description of the topological properties of a point cloud based on a specified filtration. Most filtrations used for persistent homology depend (implicitly) on a chosen metric, which is typically agnostically chosen as the standard Euclidean metric on $\mathbb{R}^n$. Recent work has tried to uncover the 'true' metric on the point cloud using distance-to-measure functions, in order to obtain more meaningful persistent homology results. Here we propose an alternative look at this problem: we posit that information on the point cloud is lost when restricting persistent homology to a single (correct) distance function. Instead, we show how by varying the distance function on the underlying space and analysing the corresponding shifts in the persistence diagrams, we can extract additional topological and geometrical information. Finally, we numerically show that non-isotropic persistent homology can extract information on orientation, orientational variance, and scaling of randomly generated point clouds with good accuracy and conduct some experiments on real-world data.
• Abstract（参考訳）: Persistent Homologyは、特定のフィルターに基づいて点雲の位相特性を簡潔に記述する、広く使われているトポロジカルデータ解析ツールである。 永続ホモロジーに使用されるほとんどのフィルターは、選択された計量に(単純に)依存しており、通常、$\mathbb{R}^n$ 上の標準ユークリッド計量として無数に選択される。 最近の研究は、より意味のある永続的ホモロジー結果を得るために、距離と測度関数を用いて点雲上の「真の」計量を解明しようと試みている。 ここでは、この問題に対する別の考察を提案する: 一つの(正しい)距離関数に永続的ホモロジーを制限する際に、点雲に関する情報が失われると仮定する。 代わりに、基底空間上の距離関数を変動させ、永続図形の対応するシフトを分析することで、追加の位相的および幾何学的情報を抽出できることを示す。 最後に,非等方性持続ホモロジーは,ランダムに生成した点雲の向き,方向分散,スケーリングに関する情報を精度良く抽出し,実世界データで実験できることを数値的に示す。

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