論文の概要: Intrinsic Bayesian Cramér-Rao Bound with an Application to Covariance Matrix Estimation

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2311.04748v2
• Date: Fri, 10 May 2024 13:37:25 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2024-05-13 20:27:06.860008
• Title: Intrinsic Bayesian Cramér-Rao Bound with an Application to Covariance Matrix Estimation
• Title（参考訳）: 固有ベイズ・クラメール・ラオ境界と共分散行列推定への応用
• Authors: Florent Bouchard, Alexandre Renaux, Guillaume Ginolhac, Arnaud Breloy,
• Abstract要約: 本稿では, 推定パラメータが滑らかな多様体内にある推定問題に対して, 新たな性能境界を提案する。 これはパラメータ多様体の幾何学と推定誤差測度の本質的な概念を誘導する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 49.67011673289242
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: This paper presents a new performance bound for estimation problems where the parameter to estimate lies in a Riemannian manifold (a smooth manifold endowed with a Riemannian metric) and follows a given prior distribution. In this setup, the chosen Riemannian metric induces a geometry for the parameter manifold, as well as an intrinsic notion of the estimation error measure. Performance bound for such error measure were previously obtained in the non-Bayesian case (when the unknown parameter is assumed to deterministic), and referred to as \textit{intrinsic} Cram\'er-Rao bound. The presented result then appears either as: \textit{a}) an extension of the intrinsic Cram\'er-Rao bound to the Bayesian estimation framework; \textit{b}) a generalization of the Van-Trees inequality (Bayesian Cram\'er-Rao bound) that accounts for the aforementioned geometric structures. In a second part, we leverage this formalism to study the problem of covariance matrix estimation when the data follow a Gaussian distribution, and whose covariance matrix is drawn from an inverse Wishart distribution. Performance bounds for this problem are obtained for both the mean squared error (Euclidean metric) and the natural Riemannian distance for Hermitian positive definite matrices (affine invariant metric). Numerical simulation illustrate that assessing the error with the affine invariant metric is revealing of interesting properties of the maximum a posteriori and minimum mean square error estimator, which are not observed when using the Euclidean metric.
• Abstract（参考訳）: 本稿では、推定するパラメータがリーマン多様体(リーマン計量で与えられる滑らかな多様体)に存在し、与えられた事前分布に従うような推定問題に対する新たな性能境界を提案する。 この設定において、選択されたリーマン計量は、パラメータ多様体の幾何学と推定誤差測度の本質的な概念を誘導する。 そのような誤差測度のパフォーマンスは、以前は非ベイジアンの場合(未知のパラメータが決定論的であると仮定された場合)に得られ、 \textit{intrinsic} Cram\'er-Rao 境界と呼ばれる。 提示された結果は以下のようになる: \textit{a}) 固有クラム=ラオのベイズ推定フレームワークへの拡張; \textit{b}) 上記の幾何学構造を考慮に入れたヴァン=トレーの不等式(ベイズ的クラム=ラオ境界)の一般化。 第二部では、この形式を利用して、データがガウス分布に従えば共分散行列推定の問題を研究し、その共分散行列は逆ウィッシュアート分布から引き出される。 この問題の性能境界は平均二乗誤差(ユークリッド計量)とエルミート正定行列(アフィン不変計量)の自然リーマン距離の両方に対して得られる。 数値シミュレーションにより、アフィン不変計量を用いて誤差を評価することは、ユークリッド計量を用いて観測されない最大平均二乗誤差推定器と最小平均二乗誤差推定器の興味深い性質を明らかにしている。

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