論文の概要: Data-driven rules for multidimensional reflection problems

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2311.06639v1
• Date: Sat, 11 Nov 2023 18:36:17 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-11-14 17:29:11.378087
• Title: Data-driven rules for multidimensional reflection problems
• Title（参考訳）: 多次元反射問題に対するデータ駆動ルール
• Authors: S\"oren Christensen, Asbj{\o}rn Holk Thomsen and Lukas Trottner
• Abstract要約: 反射型制御を伴う可逆拡散に対する多変量特異制御問題について検討する。 与えられた拡散力学に対して、最適な領域が強い星型であると仮定し、ポリトープ近似に基づく勾配降下アルゴリズムを提案し、コスト最小化領域を数値的に決定する。 最後に,制御器に拡散力学が未知な場合のデータ駆動型解について検討する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.0742675209112622
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Over the recent past data-driven algorithms for solving stochastic optimal control problems in face of model uncertainty have become an increasingly active area of research. However, for singular controls and underlying diffusion dynamics the analysis has so far been restricted to the scalar case. In this paper we fill this gap by studying a multivariate singular control problem for reversible diffusions with controls of reflection type. Our contributions are threefold. We first explicitly determine the long-run average costs as a domain-dependent functional, showing that the control problem can be equivalently characterized as a shape optimization problem. For given diffusion dynamics, assuming the optimal domain to be strongly star-shaped, we then propose a gradient descent algorithm based on polytope approximations to numerically determine a cost-minimizing domain. Finally, we investigate data-driven solutions when the diffusion dynamics are unknown to the controller. Using techniques from nonparametric statistics for stochastic processes, we construct an optimal domain estimator, whose static regret is bounded by the minimax optimal estimation rate of the unreflected process' invariant density. In the most challenging situation, when the dynamics must be learned simultaneously to controlling the process, we develop an episodic learning algorithm to overcome the emerging exploration-exploitation dilemma and show that given the static regret as a baseline, the loss in its sublinear regret per time unit is of natural order compared to the one-dimensional case.
• Abstract（参考訳）: 近年,モデル不確実性に直面した確率論的最適制御問題を解くためのデータ駆動アルゴリズムが研究の活発な領域となっている。 しかし、特異制御と基底拡散ダイナミクスについては、解析はスカラーの場合に限られている。 本稿では,反射型制御を持つ可逆拡散に対する多変量特異制御問題の研究により,このギャップを埋める。 私たちの貢献は3倍です。 まず, 制御問題を形状最適化問題として同等に特徴付けることができることを示すため, 長期平均コストをドメイン依存機能として明確に決定する。 任意の拡散ダイナミクスにおいて、最適領域が強星型であると仮定すると、ポリトープ近似に基づく勾配降下アルゴリズムを提案し、コスト最小化領域を数値的に決定する。 最後に,制御器に拡散力学が未知な場合のデータ駆動型解について検討する。 確率過程の非パラメトリック統計学の手法を用いて、静的な後悔が非反射過程の不変密度の極小最適推定速度によって束縛される最適領域推定器を構築する。 最も困難な状況では、プロセスを制御するために同時にダイナミクスを学ばなければならないとき、新たな探索・探索ジレンマを克服するためのエピソディック学習アルゴリズムを開発し、静的な後悔をベースラインとして考えると、時間単位あたりのサブリニア後悔の損失は1次元の場合と比較して自然秩序であることを示す。

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