論文の概要: Spectral Algorithms on Manifolds through Diffusion

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2403.03669v2
• Date: Thu, 7 Mar 2024 09:20:35 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2024-03-08 16:29:38.980824
• Title: Spectral Algorithms on Manifolds through Diffusion
• Title（参考訳）: 拡散による多様体上のスペクトルアルゴリズム
• Authors: Weichun Xia and Lei Shi
• Abstract要約: 再生カーネル空間におけるスペクトルアルゴリズムの収束性能について検討する。 一般化ノルムに関する厳密な収束上限を導出するために積分作用素技術を用いる。 本研究は,高次元近似のより広い文脈において,スペクトルアルゴリズムが実質的に重要であることを確認した。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.7227952883644062
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: The existing research on spectral algorithms, applied within a Reproducing Kernel Hilbert Space (RKHS), has primarily focused on general kernel functions, often neglecting the inherent structure of the input feature space. Our paper introduces a new perspective, asserting that input data are situated within a low-dimensional manifold embedded in a higher-dimensional Euclidean space. We study the convergence performance of spectral algorithms in the RKHSs, specifically those generated by the heat kernels, known as diffusion spaces. Incorporating the manifold structure of the input, we employ integral operator techniques to derive tight convergence upper bounds concerning generalized norms, which indicates that the estimators converge to the target function in strong sense, entailing the simultaneous convergence of the function itself and its derivatives. These bounds offer two significant advantages: firstly, they are exclusively contingent on the intrinsic dimension of the input manifolds, thereby providing a more focused analysis. Secondly, they enable the efficient derivation of convergence rates for derivatives of any k-th order, all of which can be accomplished within the ambit of the same spectral algorithms. Furthermore, we establish minimax lower bounds to demonstrate the asymptotic optimality of these conclusions in specific contexts. Our study confirms that the spectral algorithms are practically significant in the broader context of high-dimensional approximation.
• Abstract（参考訳）: 再現カーネルヒルベルト空間(RKHS)に適用されるスペクトルアルゴリズムの研究は、主に一般的なカーネル関数に焦点を合わせており、しばしば入力特徴空間の固有の構造を無視している。 本稿では, 入力データが高次元ユークリッド空間に埋め込まれた低次元多様体内に存在することを主張する新しい視点を紹介する。 rkhssにおけるスペクトルアルゴリズムの収束性能、特に拡散空間として知られる熱核によって生成される収束性能について検討する。 入力の多様体構造を組み入れ、一般化ノルムに関する厳密な収束上限を導出する積分作用素技術を用いて、推定子は強い意味で対象関数に収束し、関数自身とその微分の収束を伴うことを示す。 これらの境界は二つの大きな利点をもたらす: まず、それらは入力多様体の内在次元にのみ従属し、より焦点を絞った解析を提供する。 第二に、これらは任意のk次導関数の収束率の効率的な導出を可能にするが、それらはすべて同じスペクトルアルゴリズムのアンビット内で達成できる。 さらに,これらの結論の漸近的最適性を示すために,ミニマックス下限を定式化する。 本研究は,高次元近似のより広い文脈において,スペクトルアルゴリズムが実質的に重要であることを確認する。

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