論文の概要: Convergent Methods for Koopman Operators on Reproducing Kernel Hilbert Spaces

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2506.15782v1
• Date: Wed, 18 Jun 2025 18:00:08 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-06-23 19:00:04.782257
• Title: Convergent Methods for Koopman Operators on Reproducing Kernel Hilbert Spaces
• Title（参考訳）: カーネルヒルベルト空間の再生におけるクープマン演算子の収束法
• Authors: Nicolas Boullé, Matthew J. Colbrook, Gustav Conradie,
• Abstract要約: クープマン作用素のデータ駆動スペクトル解析は、多くの実世界の力学系を理解する強力なツールである。 我々は、RKHS上でのクープマンとペロン-フロベニウス作用素のスペクトル特性を計算するための、一般化可能なデータ駆動アルゴリズムを初めて導入する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 3.58439716487063
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Data-driven spectral analysis of Koopman operators is a powerful tool for understanding numerous real-world dynamical systems, from neuronal activity to variations in sea surface temperature. The Koopman operator acts on a function space and is most commonly studied on the space of square-integrable functions. However, defining it on a suitable reproducing kernel Hilbert space (RKHS) offers numerous practical advantages, including pointwise predictions with error bounds, improved spectral properties that facilitate computations, and more efficient algorithms, particularly in high dimensions. We introduce the first general, provably convergent, data-driven algorithms for computing spectral properties of Koopman and Perron--Frobenius operators on RKHSs. These methods efficiently compute spectra and pseudospectra with error control and spectral measures while exploiting the RKHS structure to avoid the large-data limits required in the $L^2$ settings. The function space is determined by a user-specified kernel, eliminating the need for quadrature-based sampling as in $L^2$ and enabling greater flexibility with finite, externally provided datasets. Using the Solvability Complexity Index hierarchy, we construct adversarial dynamical systems for these problems to show that no algorithm can succeed in fewer limits, thereby proving the optimality of our algorithms. Notably, this impossibility extends to randomized algorithms and datasets. We demonstrate the effectiveness of our algorithms on challenging, high-dimensional datasets arising from real-world measurements and high-fidelity numerical simulations, including turbulent channel flow, molecular dynamics of a binding protein, Antarctic sea ice concentration, and Northern Hemisphere sea surface height. The algorithms are publicly available in the software package $\texttt{SpecRKHS}$.
• Abstract（参考訳）: クープマン作用素のデータ駆動スペクトル分析は、神経活動から海面温度の変動に至るまで、多くの実世界の力学系を理解する強力なツールである。 クープマン作用素は函数空間上で作用し、最もよく研究されるのは平方可積分函数の空間である。 しかし、それを適切な再生カーネルヒルベルト空間(RKHS)で定義することは、誤差境界を持つ点予測、計算を容易にするスペクトル特性の改善、特に高次元においてより効率的なアルゴリズムなど、多くの実用的な利点をもたらす。 我々は、RKHS上でのクープマンとペロン-フロベニウス作用素のスペクトル特性を計算するための、一般化可能なデータ駆動アルゴリズムを初めて導入する。 これらの手法は、RKHS構造を利用して、L^2$設定で必要とされる大きなデータ制限を回避しながら、誤差制御とスペクトル測定でスペクトルと擬似スペクトルを効率的に計算する。 関数空間は、ユーザが指定したカーネルによって決定され、$L^2$のような二次的なサンプリングの必要性がなくなる。 そこで,Solvability Complexity Index 階層を用いて,これらの問題に対する逆動的システムを構築し,アルゴリズムが最小限の限界で成功できないことを示し,アルゴリズムの最適性を証明する。 特に、この不可能性はランダム化されたアルゴリズムやデータセットにまで及ぶ。 実世界の観測から得られた高次元データセットと乱流流,結合タンパク質の分子動力学,南極海氷濃度,北半球海面高さなどの高忠実度数値シミュレーションに対するアルゴリズムの有効性を実証した。 アルゴリズムはソフトウェアパッケージ$\texttt{SpecRKHS}$で公開されている。

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