論文の概要: Pulling back symmetric Riemannian geometry for data analysis
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2403.06612v1
- Date: Mon, 11 Mar 2024 10:59:55 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2024-03-12 19:23:52.379010
- Title: Pulling back symmetric Riemannian geometry for data analysis
- Title（参考訳）: データ解析のためのバック対称リーマン幾何学
- Authors: Willem Diepeveen
- Abstract要約: データセットの理想的なデータ解析ツールは、非線形幾何学を考慮すべきである。
非線型幾何学を考慮に入れたリッチな数学的構造は、データ幾何学を捉えることができることが示されている。
ユークリッド空間のデータのために最初に開発された多くの標準的なデータ解析ツールは、対称リーマン多様体上のデータに効率的に一般化することができる。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/
- Abstract: Data sets tend to live in low-dimensional non-linear subspaces. Ideal data
analysis tools for such data sets should therefore account for such non-linear
geometry. The symmetric Riemannian geometry setting can be suitable for a
variety of reasons. First, it comes with a rich mathematical structure to
account for a wide range of non-linear geometries that has been shown to be
able to capture the data geometry through empirical evidence from classical
non-linear embedding. Second, many standard data analysis tools initially
developed for data in Euclidean space can also be generalised efficiently to
data on a symmetric Riemannian manifold. A conceptual challenge comes from the
lack of guidelines for constructing a symmetric Riemannian structure on the
data space itself and the lack of guidelines for modifying successful
algorithms on symmetric Riemannian manifolds for data analysis to this setting.
This work considers these challenges in the setting of pullback Riemannian
geometry through a diffeomorphism. The first part of the paper characterises
diffeomorphisms that result in proper, stable and efficient data analysis. The
second part then uses these best practices to guide construction of such
diffeomorphisms through deep learning. As a proof of concept, different types
of pullback geometries -- among which the proposed construction -- are tested
on several data analysis tasks and on several toy data sets. The numerical
experiments confirm the predictions from theory, i.e., that the diffeomorphisms
generating the pullback geometry need to map the data manifold into a geodesic
subspace of the pulled back Riemannian manifold while preserving local isometry
around the data manifold for proper, stable and efficient data analysis, and
that pulling back positive curvature can be problematic in terms of stability.
- Abstract（参考訳）: データセットは低次元の非線形部分空間に存在する傾向がある。
このようなデータセットに対する理想的なデータ解析ツールは、そのような非線形幾何学を考慮すべきである。
対称リーマン幾何学の設定は、様々な理由に適合することができる。
第一に、古典的非線形埋め込みによる経験的証拠によってデータ幾何を捉えることができることが証明された、幅広い非線形ジオメトリを考慮できる豊富な数学的構造を持つ。
第二に、当初ユークリッド空間のデータのために開発された標準データ解析ツールの多くは、対称リーマン多様体のデータに効率的に一般化することができる。
概念上の課題は、データ空間自体に対称リーマン構造を構築するためのガイドラインの欠如と、データ解析のために対称リーマン多様体上で成功したアルゴリズムを修正するためのガイドラインの欠如である。
本研究は微分同相写像によるプルバックリーマン幾何学の設定におけるこれらの課題を考察する。
論文の第1部では、適切な、安定で効率的なデータ分析をもたらす微分同相を特徴づけている。
第2部では、これらのベストプラクティスを使用して、深層学習を通じて微分同相性の構築を導く。
概念実証として、さまざまな種類のプルバックジオメトリ -- 提案する構成 -- が、いくつかのデータ分析タスクといくつかのトイデータセット上でテストされる。
数値実験は、理論の予測、すなわち、引き戻し幾何を生成する微分同相写像は、データ多様体の局所等方性を維持しながら、引き戻しリーマン多様体の測地部分空間にデータ多様体をマッピングする必要があること、そして、正の曲率を引き戻すことは安定性の観点から問題となることを確認した。
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