論文の概要: Approximation and bounding techniques for the Fisher-Rao distances between parametric statistical models

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2403.10089v3
• Date: Wed, 22 May 2024 00:45:47 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2024-05-25 06:09:38.893184
• Title: Approximation and bounding techniques for the Fisher-Rao distances between parametric statistical models
• Title（参考訳）: パラメトリック統計モデル間のフィッシャー・ラオ距離の近似とバウンディング手法
• Authors: Frank Nielsen,
• Abstract要約: 我々はフィッシャー・ラオ距離の数値的ロバストな近似と有界化について考察する。 特に、近似に対する任意の小さな加算誤差を保証するための一般的な方法を得る。 我々は,フィッシャー・ラオ測地線のプロキシとして機能する曲線長をベースとした2つの新しい距離を提案する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 7.070726553564701
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: The Fisher-Rao distance between two probability distributions of a statistical model is defined as the Riemannian geodesic distance induced by the Fisher information metric. In order to calculate the Fisher-Rao distance in closed-form, we need (1) to elicit a formula for the Fisher-Rao geodesics, and (2) to integrate the Fisher length element along those geodesics. We consider several numerically robust approximation and bounding techniques for the Fisher-Rao distances: First, we report generic upper bounds on Fisher-Rao distances based on closed-form 1D Fisher-Rao distances of submodels. Second, we describe several generic approximation schemes depending on whether the Fisher-Rao geodesics or pregeodesics are available in closed-form or not. In particular, we obtain a generic method to guarantee an arbitrarily small additive error on the approximation provided that Fisher-Rao pregeodesics and tight lower and upper bounds are available. Third, we consider the case of Fisher metrics being Hessian metrics, and report generic tight upper bounds on the Fisher-Rao distances using techniques of information geometry. Uniparametric and biparametric statistical models always have Fisher Hessian metrics, and in general a simple test allows to check whether the Fisher information matrix yields a Hessian metric or not. Fourth, we consider elliptical distribution families and show how to apply the above techniques to these models. We also propose two new distances based either on the Fisher-Rao lengths of curves serving as proxies of Fisher-Rao geodesics, or based on the Birkhoff/Hilbert projective cone distance. Last, we consider an alternative group-theoretic approach for statistical transformation models based on the notion of maximal invariant which yields insights on the structures of the Fisher-Rao distance formula which may be used fruitfully in applications.
• Abstract（参考訳）: 統計モデルの2つの確率分布間のフィッシャー・ラオ距離は、フィッシャー情報計量によって誘導されるリーマン測地距離として定義される。 クローズド形式のフィッシャー・ラオ距離を計算するためには、(1)フィッシャー・ラオ測地線の式を導出し、(2)フィッシャー長要素をそれらの測地線に沿って積分する必要がある。 我々はフィッシャー・ラオ距離の数値的ロバストな近似とバウンディング手法について考察する: まず, サブモデルの閉形式1Dフィッシャー・ラオ距離に基づくフィッシャー・ラオ距離の一般上界について報告する。 第二に、フィッシャー・ラオ測地学やプレジオデシクスがクローズド形式で利用できるかどうかによって、いくつかの一般的な近似スキームを記述する。 特に,フィッシャー・ラオ・プレジェデシクスとタイト・ロウアー・アッパー・バウンドが利用できると仮定して,任意に小さな加法誤差を保証できる汎用的手法を得る。 第3に,フィッシャー測度がヘッセン測度である場合を考察し,情報幾何学の手法を用いて,フィッシャー・ラオ距離の総称的上界を報告する。 単パラメトリックおよび双パラメトリック統計モデルは、常にフィッシャー・ヘッセン計量を持ち、一般に、フィッシャー情報行列がヘッセン計量を生成するかどうかを確認するための単純なテストが可能である。 第4に、楕円分布系を考察し、上記の手法をこれらのモデルに適用する方法を示す。 また、フィッシャー・ラオ測地線のプロキシとして機能する曲線のフィッシャー・ラオ長に基づく2つの新しい距離や、バーコフ/ヒルベルト射影円錐距離に基づく2つの新しい距離を提案する。 最後に、フィッシャー・ラオ距離式の構造に関する洞察を得られる最大不変量の概念に基づいて、統計変換モデルに対する別の群論的アプローチを考える。

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