論文の概要: Conditioning of Banach Space Valued Gaussian Random Variables: An Approximation Approach Based on Martingales

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2404.03453v3
• Date: Tue, 6 Aug 2024 07:53:09 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2024-08-07 19:02:36.774267
• Title: Conditioning of Banach Space Valued Gaussian Random Variables: An Approximation Approach Based on Martingales
• Title（参考訳）: バナッハ空間値ガウス確率変数の条件付け:マルティンガレスに基づく近似的アプローチ
• Authors: Ingo Steinwart,
• Abstract要約: ガウス確率変数として有意な2つのバナッハ空間の条件分布について検討する。 それらの手段と共分散は、マルティンゲールアプローチに基づく一般的な有限次元近似スキームによって決定されることを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 8.81121308982678
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: In this paper we investigate the conditional distributions of two Banach space valued, jointly Gaussian random variables. We show that these conditional distributions are again Gaussian and that their means and covariances are determined by a general finite dimensional approximation scheme based upon a martingale approach. In particular, it turns out that the covariance operators occurring in this scheme converge with respect to the nuclear norm and that the conditional probabilities converge weakly. Moreover, we discuss in detail, how our approximation scheme can be implemented in several classes of important Banach spaces such as (reproducing kernel) Hilbert spaces and spaces of continuous functions. As an example, we then apply our general results to the case of Gaussian processes with continuous paths conditioned to partial but infinite observations of their paths. Here we show that conditioning on sufficiently rich, increasing sets of finitely many observations leads to consistent approximations, that is, both the mean and covariance functions converge uniformly and the conditional probabilities converge weakly. Moreover, we discuss how these results improve our understanding of the popular Gaussian processes for machine learning.
• Abstract（参考訳）: 本稿では,2つのバナッハ空間の条件分布について検討する。 これらの条件分布は再びガウス的であり、それらの手段と共分散は、マルティンゲールアプローチに基づく一般的な有限次元近似スキームによって決定されることを示す。 特に、このスキームで生じる共分散作用素は核ノルムに関して収束し、条件確率は弱収束する。 さらに、我々の近似スキームがヒルベルト空間や連続函数の空間といった重要なバナッハ空間のいくつかのクラスでどのように実装できるかを詳細に議論する。 例えば、連続経路が部分的だが無限的な経路の観測に条件づけられたガウス過程の場合には、一般結果を適用する。 ここでは、十分リッチで、有限個の観測の集合が増加すると、一貫した近似、すなわち平均関数と共分散関数が一様収束し、条件確率が弱収束することを示す。 さらに,機械学習におけるガウス過程の理解を深める方法について考察する。

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